Mersenne数的Smarandache函数值的下界.pdf

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1、第24卷第4期广东石油化工学院学报V01．24No．42014年8月JournalofGuangdongUniversityofPetrochemicalTechnologyAugust2014Mersenne数的Smarandache函数值的下界梁明(广东石油化工学院数学系，广东茂名525000)摘要：设p是奇素数，运用初等方法讨论了S(24-1)的下界，其中S(2p4-1)是2v±1的Smamndaehe函数。文章证明了：当P>7时，S(24-1)≥8p+1。关键词：Mersenne数；Smarandache函数；下界中图分类号：0156．4文献标识码：A文章编号：2095—2

2、562(2014)04—0047—04设Ⅳ是全体正整数的集合。对于正整数n，设S(n)=min{mIm!m0(mod，t)}，m∈N}(1)称为n的Smarandache函数。近几年来，关于此类数论及其推广形式的各种性质可谓是一个引人关注的研究课题[卜。设P是奇素数，本文讨论Smarandache函数值S(2p±1)的下界。对此，文E8]证明了S(2一(2一1))≥2p+1(2)文[9]证明了，当P>17时，s(2±1)≥6p+1(3)本文运用初等方法证明了以下的结果：定理当P>7时，s(2±1)≥8p+1。由于从文[8]可知S(2(2一1))=S(2p一1)，所以本文定理改进了文

3、Es]和[9]中的结果(2)和(3)。1若干引理设P，q是奇素数。对于大于1的正整数n，设P(n)是n的最大素因数。引理2．1如果2是模q的二次剩余，则q1或7(mod8)；如果一2是模q的二次剩余，那么q；1或3(mod8)。证明参见文[10]的定理3．1．3，3．2．1和3．2．3。引理2．2设和y是适合IXYI>1以及gcd(，Y)=1的整数，此时，(—yp)／(—y)的素因数q满足q：P或者q1或q1(mod2p)，而且q=P成立的充要条件是X善Y(modp)。证明参见文[11]。引理2．32一1的素因数q都可表成q=8sp+1或者1f(8s一2)p+1，当P；l(mod4

4、)时⋯(8一6)p+l，当p3(mod4)时(4)式中：s是正整数。证明因为2—1=1，所以从引理2．2可知2一1的素因数q都满足q1(mod2p)，故有q=2tp+1，t∈N，(5)收稿13期：2014—04—08；修回13期：2014—05—25作者简介：梁明(1964一)，男，广东化州人，讲师，主要从事数论研究。48广东石油化工学院学报2014年又因，2p2(2‘

5、”)l(modg)，所以2是模q的二次剩余，从引理2．1得g三l或7(mod8)。当口罩l(mod8)时，从式(5)可知41t，故有4s，其中s是正整数。因此q=8Sp+1。当口三7(mod8)时，从式(5)可知’

6、tp兰3(mod4)(6)故从式(6)可得{-3(4)，当p暑1(4)时(7)【l(mod4)，当P~3(mod4)时由于从式(7)可知江一f【4，p-4∈Ⅳ(8)43，当p；3(mod4)时一“⋯故从式(5)和式(8)可得式(4)。引理证完。引理2．4当P>3时的素因数g都可表示成g=8+1或者g。：J1(8s一6)p+1，当p兰1(4)时(9)(8s一2)p+1，当p；3(mod4)时式中：s是正整数。证明本引理的证明方法与引理2．3相同。因为2一(一1)=3

7、)zl(modq)，所以一2是模口的二次剩余，故从引理2．1可知g兰1或3(mod8)。当口；l(mod8)时，从(2．2)可知g=8+1。当g_~3(mod8)时，因为从(5)可知tp=l(mod4)，故从一f【(4)，当p至1(4)时，(10)3(mod4)，当P蠹3(mod4)时，一可得式(9)。引理证完。引理2．5如果凡=P≯⋯碚(11)是n的标准分解式，则S(n)=rnax{S(plI)，⋯，s()}。证明参见文[12]。引理2．6如果和Y是适合

8、凡)。证明设式(11)是n的标准分解式。从引理2．6和2．7可知S(p)≥s(p)=P，i=1，2，⋯，(12)因此根据引理2．5，从(12)-nf~S()=maD【{Js(p-)，⋯，S(廊)}≥max{S(P1)，⋯，S(P)}_lnax}Pl，⋯，}一P(凡)。引理证完。引理2．9方程—=1，X，Y，m，n∈N，min{，Y，n，n}>1(13)仅有解(，Y，m，n)=(3，2，2，3)。证明参见文[13]。引理2．10方程2+1=3I／"，y，n∈Ⅳ，Y>1，