一类高考数列求和题的解法探究.pdf

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1、2014年第1、2期福建中学数学33直线PAy:(−=−ykxx)，直线PAy:(−y=−kxx)，010010令x=m，则ykmxy=−+()，令x=m，则ykmxy=()−+，100100∴−M(())mkmx，+y，∴M(())mkmx，−+y，100100同理可得Nmkmx(())，−+y．同理可得Nmkmx(())，−+y．2002002x0bx0∴MN的中点Qm(()，−−mx00+y)，∴MN的中点Qm((，−−2mx00)+y)，y0ay0xbx2从而直线PQ的斜率为k=−0．0从而直线PQ的斜率为k=−．y

2、ay200x∴直线PQy:(−=y−0x−x)，仿照类似的证明方法，可以证明定理3和定理4．00y220xy2定理3已知A，B是双曲线−=>1(a0，即为xxyyr+=，易知直线PQ与圆相切．ab2200定理2已知A，B是椭圆yC:b>0)的左右顶点，直线l与x轴垂直，过双曲线C22MxyP上任意一点P(不同于A，B)作直线PA与PB分别交C:+=>>1(ab0)的左右Q22ab直线l于M，N两点，记线段MN的中点为Q，则AOBx顶点，直线l与x轴垂直，过椭N直线PQ与双曲线相切．圆C上任意一点P(不同于A，2定理4已知A是

3、抛物线C:yp=>2(0xp)的顶B)作直线PA与PB分别交直线l于M，N两点，记点，直线l与x轴垂直，过双曲线C上任意一点P(不线段MN的中点为Q，则直线PQ与椭圆相切．同于A)作直线PA交直线l于M，作PN⊥l垂足为证明设点Pxy()，，直线l为x=m，00N，记线段MN的中点为Q，则直线PQ与抛物线相直线PA，PB的斜率分别为k，k，12切．2yyx22ybx00000则kk+=+==−，12222xaxa+−−xaay0000一类高考数列求和题的解法探究林志森福建省南安市侨光中学（362314）n−1文[1]给出一道

4、高考数列求和题的三种通解．这解设ap=+()nqxnnn−1三种解法对教学有很好的借鉴作用，可以拓宽解题=+[kn(1)+−+bx](knbx)，思路，提高解题效率．但美中不足在于只是一道题其中k，b为待定系数，方程右边整理得的解法，又此类题型在高考中高频出现，如近两年n−1n−1()pnqx+=−++−[kx(1)nkxx(1)bx]，的高考试题：2012年高考天津（理）18、浙江（文）⎧kx(1−=)p，由恒等式得⎨19、江西（理）16、江西（文）17，还有2013年高⎩kx+(1x−=)bq．考山东（理）20、山东（文

5、）20、湖南（文）19，p（1）当x≠1时，解得k=，都是差比型数列求和问题．事实x−1y上，可以把三种解法进行推广到这NPqpxb=−，Q2一类差比型数列求和问题．xx−−1(1)Ax对于错位相减法求和，是大家M⎡⎤pn(1++)qpxnn⎡pnq+px⎤−1∴=ax⎢⎥−−⎢−⎥x．n22所熟悉的，此处不再赘述．接下来，本文侧重裂项⎣⎦xx−−11(1xx−−)⎣(1)⎦相加法、函数求导法解决这一类差比型数列求和问⎡2pq++px⎤⎡pqpx⎤于是ax=−−−⎢⎥⎢⎥，122题．⎣xx−−11(1xx−−)⎦⎣(1)⎦题

6、目求数列{}()pnqx+n−1的前n项求和．⎡32pq++px⎤⎡2pqpx⎤axx=−⎢⎥⎢−−⎥，222⎣xx−−11(1xx−−)⎦⎣(1)⎦1裂项相加法34福建中学数学2014年第1、2期212nn−3⎡⎤43pq++px32⎡⎤pqpx+=++++Anpxxn(123"xp)=++++(xxxx")′，axx=−⎢⎥−−⎢⎥，322⎣⎦xx−−11(1xx−−)⎣⎦(1)′n⎡⎤xx(1−)⎡⎤pnq+−pxnn−−12⎡pn(1)+qpx⎤（1）当x≠1时，Sp=⎢⎥ax=−⎢⎥−⎢−⎥x，⎣⎦1−xn−122

7、⎣⎦xx−−11(1xx−−)⎣(1)⎦nn+11(1)−++nxnx⎡⎤pn(1++)qpxnn⎡pnq+px⎤−1=⋅p2；ax=−−⎢⎥⎢−⎥x，(1−x)n22⎣⎦xx−−11(1xx−−)⎣(1)⎦而数列{B}是一个等比数列，n∴=++++Saaa"ann123nqx(1−)⎡⎤p(1nqp++)xn⎡p+qpx⎤其前n项和TBB=+++=12"Bn，=−−⎢⎥22x⎢−⎥1−x⎣⎦xx−−11(1xx−−)⎣(1)⎦n−1所以数列{()pnqx+}前n项nn+1pqxpn+−−++++(1)[(1)qxpnqx]

8、()=．1(1)−++nxnnnxqx+1(1−n)2(1−x)SSTp=+=+n2(1−x)1−x（2）当x=1时，nn+1Sp=++++++()qp(2)()q"pnqpqxpn+−−++++(1)[(1)qxpnqx]()n=；2(1−x)nn(1+)p=+nq，2（2）当x=1时，