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1、聚焦数列裂项求和的解法探究【摘要】裂项求和是数列求和的重要方法之一，教学以两种经典模型为主•在具体应用中，不能解决经典模型以外的裂项求和问题.文中从一道裂项求和问题的解决方式出发，对裂项求和的结构特征进行了分析，应用特殊与一般、转化及类比等数学思想方法提出了两个裂项求和的一般模型，使裂项求和的应用不局限于与等差数列有关的裂项求和•在应用一般模型的过程中，旨在提升学生对问题的转化能力，并掌握分析裂项求和的一般思路与策略.【关键词］裂项求和；分子；分母在数列的综合性问题中，符合裂项求和的通项公式具有特殊的结构特征，这种特姝结构在两个经典模型中，局限于与等差数列有关的通项公式
2、，从而也体现了两个经典模型是裂项求和的两个特殊模型，并不是一般模型.文屮结合一道裂项求和题目的求解过程，引发对裂项求和结构特征的思考，将原冇特殊模型转化提升为一般模型.1问题的背景引例:已知数列｛%｝的通项公式色2n+l求｛%｝的前几项和Sn.2斤+1_(斤+1)2_比2_11(n+l)2(H)2"(斤+1)2(72)2一产("+1)2S+l)2n(n+2)S+l)2这个题日是裂项求和问题，在学生思考求和时，根据通项公式的形式，容易排除公式求和、错位相减求和、倒序求和，但是也很难与裂项求和联系起来，这就不得不对裂项求和进行新的思考•学生不能很好的将问题转化为裂项求和，主
3、要原因在于，教学中冇关裂项求和主要是下列两个经典模型：模型1:等差数列a｝,其中FeN*,色工0,公差为d(d工0),=—(-——)ZN、叭林kdaHan+k模型2：等差数列｛%｝,其中Vhg/V*,^>0,公差为d(dHO)(RwN*).上述两个经典模型不能应用于引例所处理的题H,它们的特殊性在于：均与等差数列冇关•引例中的通项公式相较而言就显得更一般，这就引起了对引例与经典模型在应用裂项求和中转化的共同性的思考.2裂项求和的一般模型2.1模型1的推广裂项求和的关键是如何将-项裂为两项的差•观察引例的解题过程，核心步骤为需尹问题在转化过程中应用了分子与分母Z间的内在联
4、系，若记色=號，则bj=a^~Cln=J——,不难发现分①+几an色+】子为分母两项的差.模型1屮，因数列｛〜｝是等差数列，分子的常数1是分母两项差的-L倍数，可将分子屮的1按照下kd111,,（d"+R一d"）11I列方式转化为：1=—kd=一⑺士—色），从而发现模型1屮—=妲=—（）kdkdatlan+kanan+kkdanafUk的核心转化步骤与引例完全一致，归纳得可以裂项的结构特征为UA_B）丄一丄），即分子与分母两ABBA项的差具有倍数关系.因此，将模型1推广为更一般的模型，得到模型3：数列｛an｝fX中X/hwN*,%hO,则~a,l）=m（-——）（其中k
5、eN^m^O'）an+k%an^n+k模型3的特征：（1）分母为同一数列中两项（一般为相邻两项）的积；（2）分子为分母中两项的差或差的倍数.注意:｛an｝的数列类型不局限于等差数列，可以推广至各种形式的数列，只需要求匕｝中的所有项均不为0.可以裂项的结构特征为UA_B）丄—丄），能否求和还需要看间的联系，因此需耍成ABBA为同一数列中的某两项（一般为相邻两项），这就使得原来的模型1成为了模型3的一个特例，将｛%｝局限于等差数列的特殊情形推广到符合要求的一-般数列.2.2模型2的推广2.1中针对模型1的特征，将其推广为模型3,由裂项核心思路的一致性，类比模型1推广为模型3
6、的方式，可将模型2推广为模型4,模型4如下：模型4：数列｛匕｝,其中V«e7V*,^>0,=加（血+&-屁）（其中R模型4的特征：（1）分母为同一数列中两项（一般为相邻两项）平方根的和;（2）分子为分母中两项的差或差的倍数.注意：仏｝的数列类型不局限于等差数列，可以推广至各种形式的数列，只需要求｛%｝中的所有项均为正项.模型4可以裂项的结构与模型3略有区别，它可以裂项的结构特征为皆_/=饥倆_顶）,能>JA+y/B否求和依然需耍间存在联系，因此人B仍然耍是同一数列中的某两项（一般为相邻两项），这就使得原来的模型2成为了模型4的一个特例，将｛色｝局限于等差数列的特殊情形推
7、广到符介要求的一般数列.通过上述两部分的分析，不难发现裂项求和转化的关键为数列的通项公式能否转化、如何转化为符合裂项的结构特征即:k(A—B)ABk(B-A)iiy3一般模型的应用山于模型4应用于较复杂的通项公式与应用模型3的一般思路和策略相同，并且没有发现有相关题目的考查，所以一般模型的应用主要以模型3为主.应用过程屮的一般的解题策略为：若求和可能是裂项求和，在应川模型3时，从模型的两个特征出发，先考虑分母是否是同一个数列屮某两项的积，再考虑分子是否与这两项的差有倍数关系•从解决裂项求和的一般策略里，能够使得学牛转化问题分析问题的能力提
