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《26.聚焦数列裂项求和的经典模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)聚焦数列裂项求和的经典模型从一个经典模型开始研究裂项求和法裂项求和是数列求和的重要方法之一,其中,裂项求和的经典模型是=-,推广该经典模型,不仅可解决一类高考试题,而且可探索其命题方法.[母题结构]:己知{an}(an≠0)是公差为d(d≠0)的等差数列,求证:(Ⅰ)=(-)(k∈N*);(Ⅱ)=(-)(k∈N*).[母题解析]:(Ⅰ)由(-)====(-);(Ⅱ)由(-)====(-).1.通项构造子题
2、类型Ⅰ:(2013年课标Ⅰ高考试题)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前n项和.[解析]:(Ⅰ)由S3=0,S5=-53a2=0,5a3=-5a2=0,a3=-1an=2-n;(Ⅱ)由===(-){}的前n项和=[(-)+(-)+…+(-)]=(-1-)=-.[点评]:利用等差数列{an}的通项an构造数列{},是高考命制裂项求和的经典模型类试题的最常用方法.2.求和构造子题类型Ⅱ:(2008年江西高考试题)等差数列{an}的各项均为正
3、数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.(Ⅰ)求an与bn;(Ⅱ)求和:++…+.[解析]:(Ⅰ)设{an}的公差为d(d≥0),{bn}的公比为q;由b1=1,且b2S2=64,b3S3=960(6+d)q=64,(9+3d)q2=960d=2,q=8an=2n+1,bn=8n-1;(Ⅱ)由Sn=n(n+2)=(-)++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1+--)=-.[点评]:利用等差数列{an}的前n项和Sn,可构造数列{},由Sn=n(n+
4、a1-)=(-).3.条件构造子题类型Ⅲ:(2010年安徽高考试题)设数列a1a2,…an,…中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N*都有:++…+=.[解析]:必要性:设等差数列{an}的公差为d,则①当d=0时,ak=a1++…+==;②当d≠0时,=(-)++…+=(-)=;充分性:由++…+=++…++==-(n+1)an+1-nan+2=a1nan-(n-1)an+1=a1(n+1)an+1-nan+2=nan-(n-1)an+1an+an+2=2an+1数列{an
5、}为等差数列.[点评]:由本题知,若数列{}的前n项和为,则{an}为等差数列,该结论提供了构造等差数列条件的新途径.4.子题系列:1.(2013年大纲高考试题)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.2.(2010年广东高考试题)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求an及Sn;(Ⅱ)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.3.(2013年江西高考试题)正项数列{an}
6、满足:an2-(2n-1)an-2n=0.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.4.(2011年课标高考试题理科第17题)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{}的前n项和.5.(2014年大纲高考试题)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n
7、项和Tn.6.(2015年课标Ⅰ高考试题)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.7.(1993年全国高考试题)已知数列,…,,…,Sn为其前项和.计算得S1=,S2=,S3=,S4=.观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.8.(2014年浙江高考试题)已知数列{an}和{bn}满足a1a2…an=()(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(Ⅰ)求an与bn;
8、(Ⅱ)设cn=-(n∈N*),记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*,均有Sk≥Sn.9.(2011年浙江高考试题)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),设数列的前n项和为Sn,,,成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及Sn;(Ⅱ)记An=+++…+,Bn=+++…+,当n≥2时,试比较An与Bn的大小.10.(2
