一类数列求和的新方法

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1、一类数列求和的新方法对于形如(其中为常数)的数列求和问题，学生一般采用错位相消法．但是学生在应用这种方法在求和时常常容易在计算时犯错误．在这里，我们主要是探讨这类数列求和问题的新思路，以期简化学生的计算量和提高学生的思维能力．问题：设，求的前项和．解：这是典型的一道错位相消的题目，我们从另外的角度来讨论怎么求和．设，令，比较系数可得方程，，解方程可得，，即．，则．注1：这个方法我们定义为待定系数法，就是构造新数列使得所求的数列可以裂开为的两项之差即，从而得到．注2：形如的数列求和问题用“待定系数法”时构造的数列跟的形式是一样．同理对于形如的数列求和问题，我们同样构造

2、数列．推广：设，求的前项和．解：设，,由可得，比较等式两边系数可得，，解得，．即，因此我们可以得到，故．这样这一类问题我们都可以解决了，而且只是解个方程而已，避开了复杂的计算．例1：（2014·安徽高考）数列满足，，．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和．解：（1）证明：，，即；数列是以为首项，以为公差的等差数列．（2）由（1）知，，则；下面我们用新方法来求这个数列的和，设，，令，，比较系数可得方程，解之得．故，则，即，而，，．例2：（2015·湖北高考）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时

3、，记，求数列的前项和．解：（1）由题意有，解得或．故或．（2）由，知，，故，设，由可得方程组，解得，故，则，即，而，，．例题3：已知数列，．（1）求与的递推关系式；（2）求的前项和．解：（1），即．（2），叠加得，，右边的求和正好是我们熟悉的错位相消求和，这样的话用错位相消可以得到．下面我们用“待定系数法”来求，令，，，比较系数可得方程解方程得，即，故．湖北省仙桃市荣怀学校高中数学陈强电话：15827276554