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时间:2019-05-06
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1、一类数列求和的新方法对于形如(其中为常数)的数列求和问题,学生一般采用错位相消法.但是学生在应用这种方法在求和时常常容易在计算时犯错误.在这里,我们主要是探讨这类数列求和问题的新思路,以期简化学生的计算量和提高学生的思维能力.问题:设,求的前项和.解:这是典型的一道错位相消的题目,我们从另外的角度来讨论怎么求和.设,令,比较系数可得方程,,解方程可得,,即.,则.注1:这个方法我们定义为待定系数法,就是构造新数列使得所求的数列可以裂开为的两项之差即,从而得到.注2:形如的数列求和问题用“待定系数法”时构造的数列跟的形式是一样.同理对于形如的数列求和问题,我们同样构造
2、数列.推广:设,求的前项和.解:设,,由可得,比较等式两边系数可得,,解得,.即,因此我们可以得到,故.这样这一类问题我们都可以解决了,而且只是解个方程而已,避开了复杂的计算.例1:(2014·安徽高考)数列满足,,.(1)证明:数列是等差数列;(2)设,求数列的前项和.解:(1)证明:,,即;数列是以为首项,以为公差的等差数列.(2)由(1)知,,则;下面我们用新方法来求这个数列的和,设,,令,,比较系数可得方程,解之得.故,则,即,而,,.例2:(2015·湖北高考)设等差数列的公差为,前项和为,等比数列的公比为.已知,,,.(1)求数列,的通项公式;(2)当时
3、,记,求数列的前项和.解:(1)由题意有,解得或.故或.(2)由,知,,故,设,由可得方程组,解得,故,则,即,而,,.例题3:已知数列,.(1)求与的递推关系式;(2)求的前项和.解:(1),即.(2),叠加得,,右边的求和正好是我们熟悉的错位相消求和,这样的话用错位相消可以得到.下面我们用“待定系数法”来求,令,,,比较系数可得方程解方程得,即,故.湖北省仙桃市荣怀学校高中数学陈强电话:15827276554
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