一类带有组合数的数列的求和--兼谈等差数列的几个性质.pdf

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1、教学参谋解法探究2015年6月一类带有组合数的数列的求和———兼谈等差数列的几个性质筅陕西省武功县教育局教研室李歆2007年高考数学陕西卷理科第22题，是一道数列与下面用数学归纳法证明.组合计数相结合的压轴题，原题如下：（1）当n=1时，①式显然成立.已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk=（2）假设当n=k时①式成立，则由a1，a2，…，ak+1与a2，011*a3，…，ak+2均为以d为公差的等差数列，得到：Cka1+Cka2+akak+（1k∈N），其中a1=1.2C2kk-（

2、12a012kka3+…+Ckak+1=21+kd），Cka2+Cka3+Cka4+…+Ckak+2=（Ⅰ）求数列{ak}的通项公式；2k-（12a2+kd）.（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b01021n}满足以上两式相加，得Cka1+（Ck+Ck）a2+（Ck+Ck）a3+…+bk-nkkk+1=（k=1、2、…、n-1），bCkak+2=2［2a1+（k+1）d］.1=1，求b1+b2+…+bn.bkak+1根据组合数公式，上式可整理为：该题的答案显示：（Ⅰ）中ak=k，说明数列{

3、ak}是等差012k+1kCk+1a1+Ck+1a2+Ck+1a3+…+Ck+1ak+2=2［2a1+（k+1）d］.即当k-1数列；（Ⅱ）中bk=（-1）·Ckn=k+1时，①式也成立.（nk=1、2、…、n），说明数列{bn}n根据（1）、（2）知：对任意给定的正整数n，①式都成是带有组合数的数列，因此求b1+b2+…+bn则告诉我们，立.这是一种带有组合数的数列的求和问题.这个隐含信息由此得到定理1.为我们进一步深层次地研究此类问题搭建了平台.比定理1：设数列{an}是首项为a1、公差为d的等

4、差数列，bk+1k-n012nn-1如，将（Ⅱ）中的“数列{bn}满足=（k=1、2、…、n-则Cna1+Cna2+Cna3+…+Cnan+1=2（2a1+nd）.bkak+1k-1如果把问题1中的数列{bn}满足“bk=Cnak”分别换为k-11），b1=1”改为“数列{bn}满足bk=Cna（kk=1、2、…、n+1）”或k-1k-1“bk=Cna2k-1”或“bk=Cna2k”，那么用完全类似的方法，可以k-1“数列{bn}满足bk=CnS（kk=1、2、…、n+1）”等，这样一变，得到定理2

5、和定理3.怎样求解b1+b2+…+bn呢？本文对此作以探究，并从中揭定理2：设数列{an}是首项为a1、公差为d的等差数列，示出等差数列的几个有趣性质.则C012n（na+nd）.na1+Cna3+Cna5+…+Cna2n+1=21问题1：设数列{an}是首项为a1、公差为d的等差数列，定理3：设数列{an}是首项为a1、公差为d的等差数列，若对任意给定的正整数n，数列{b}满足b=Ck-1nkna（kk=1、2、012nn则Cna2+Cna4+Cna6+…+Cna2（n+1）=2［a1+（n+1）

6、d］.…、n+1），求b1+b2+…+bn+1.问题2：设数列{an}是首项为a1、公差为d的等差数列，分析：根据等差数列的通项公式，易得以下几个恒Sn为其前n项和，若对任意给定的正整数n，数列{bn}满足等式：k-1bk=CnS（kk=1、2、…、n+1），求b1+b2+…+bn+1.C011a1+C1a2=a1+a2=2a1+d，分析：根据等差数列的前n项和公式，易得以下几个C0122a1+C2a2+C2a3=a1+2a2+a3=2（2a1+2d），恒等式：0123C3a1+C3a2+C3a3+

7、C3a4=a1+3a2+3a3+a4=4（2a1+3d）.C011S1+C1S2=S1+S2=3a1+d，根据以上三式的结构，猜想：对任意给定的正整数C0122S1+C2S2+C2S3=S1+2S2+S3=8a1+5d，012nn-1n，有Cna1+Cna2+Cna3+…+Cnan+1=2（2a1+nd）摇摇①.C01233S1+C3S2+C3S3+C3S4=S1+3S2+3S3+S4=20a1+18d.78高中版教学教学参谋解法探究2015年6月解法探究参谋k-2根据以上三式的结构，猜想：对任意给

8、定的正整数=2（k+4）（k+1）.*n，总存在两个函数（fn）和g（n）（n∈N），使得下列恒等式即⑥式也成立.成立：根据（1）、（2）知：对任意给定的正整数n，⑥式都成012nCnS1+CnS2+CnS3+…+CnSn+1=f（n）a1+g（n）d摇摇②.立.证明：（1）当n=1时，令（f1）=3，g（1）=1，则知②式成综上得到定理4.立.定理4：设数列{an}是首项为a1、公差为d的等差数列，（2）假设当n=k时②式成立，则由a1，a2，…，ak+1与a2，S