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1、等差数列的前n项和性质等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令例3：已知数列｛an｝前n项的和为sn=n2+(1/2)n求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？所以数列｛an｝的通项公式为an=2n－1/2.由此可知，数列｛an｝是一个首项为3/2，公差为2的等差数列。解：根据sn=a1+a2+…+an-1+an与sn-1
2、=a1+a2+…+an-1（n＞1）可知，当n＞1时，an=sn－sn-1=n2+1/2n－〔（n－1)2+1/2（n－1）〕=2n－1/2……①当n=1时，a1=s1=12+1/2×1=3/2，也满足①式。已知数列an的前n项和为，求这个数列的通项公式。针对练习解：当n=1时，当n>1时又n=1时所以⑴当n=1时a1=S1⑵当n>1时，an=Sn-Sn-1⑶如果当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值相等，那么得到数列an的通项公式为an=Sn-Sn-1，当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的
3、值不相等，那么数列an的通项公式要分段表示为an=S1n=1Sn-Sn-1n>1思考：已知前n项和Sn如何求通项an？等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S1
4、1所以图象的对称轴为7n113Sn∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得d=－2∴当n=7
5、时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥0求得.练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n
6、的值为()A.12B.13C.12或13D.14C2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=
7、(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质5:为等差数列.an例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和
8、的性质的应用例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为.－110例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则
9、a1
10、
