等差数列的求和公式

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1、等差数列的求和公式教学目标 1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，在推导公式的过程中，体会从特殊到一般、从一般到特殊的思想方法． 2．会用公式解决一些简单问题，在解决实际问题的过程中，进一步体会等差数列模型的作用，培养从实际问题中抽象出数列模型的能力． 教学重点和难点 重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式． 难点：从求1+2+3+…+100的过程中概括出推导等差数列前n项和公式的思想方法． 教学媒体 利用计算机和实物投影等辅助教学. 教学过程 1．实例引入，学习数列前n项和的概念 问题1：一个堆放铅笔的V形架，最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层

2、放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（多媒体显示）             师：问题1要求V形架里的铅笔数．第一层1支，第二层2支，第三层3支，…，边说边呈现． 各层的铅笔数涉及一个数列：1，2，3，…，100，…．我们现在求的和就是这个数列前100项的和． 一般地，我们称为数列的前n项和，用表示，即 （板书） 口头解释、，今天这节课的学习内容是：等差数列的前n项和．（板书课题） 2．引导探究，发现公式 2.1高斯解决的思想方法 师：回到刚才的问题1（指向屏幕），我们现在求的是等差数列{n}前100项和． 问题2如何求和： 师：关于这个问题有个故事，同学们知道吗？谁能说说

3、？ 生：高斯，人称“数学王子”，天赋过人．据说，在高斯10岁时，老师刚在黑板上写完这道题，小高斯就求出了它的结果． 师：怎么求的？ 生：这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了． 师：很好！下面让我们来仔细分析一下高斯算法的思想方法． 原问题：是100个不同的数求和， 通过“配对分组”手段，将问题转化，得到 新问题：是50个相同的数求和． 其中，是数列：1，2，3，…，100，…的性质． 也就是说，高斯算法的高明之处在于将不同数的求和问题转化为相

4、同数的求和问题．好，解决了的问题，我们再看问题2： 2.2　正整数数列前n项和 问题2 求 师：怎么求和？请大家自主探究，也可以相互讨论． (学生探究，交流讨论，教师巡视，收集不同解法，切换实物投影仪，展示，学生讲解，教师总结评价) 生1（配对）：n为偶数时，因为，所以． n为奇数时，因为，所以． 综上，． （当n为奇数时，还可能有留下首项或中间项的做法，适当点评） 生2（倒序相加）：又 两式相加得，所以． 师：好！两种方法都实现了“将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题”．其中由于分组而引出来的项数问题，第一位同学用分类讨论来解决，第二位同学用“两倍”来解决．后一种做法中，

5、一个式子的项顺着写，另一个式子的项倒着写，再对应项相加，我们给它取一个形象的名字叫做“倒序相加法”． 2.3等差数列前n项和 师：让我们再看更一般的问题！ 问题3 求等差数列的前n项和，即 师：大家可以继续讨论，把讨论结果写在课堂练习本上． （让学生分组讨论，然后多样化的成果展示，教师最后点评、总结） （展示生1的倒序相加法，教师板书）  又 因为，（）， 所以． 由(1)+(2)，得 由此得到． 生2：因为  （教师补板书，边写边说） ， 师：如果用基本量、d和n来表示，第一个公式就化为第二个形式了． 至此，我们得到了计算等差数列前n项和的公式，公式有两种形式．下面我们来应用

6、公式解决问题： 3．公式辨析，应用反馈 例1　如图，一个笔架，最下面一层放20支笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．这个笔架上共放着多少支笔？                   师：请先找出例题中的数列． 生：因为往上每一层都比它下面一层多放一支，所以每一层的笔数构成一个等差数列：，，公差． 学生独立完成解题后，教师展示完整的解题过程，要求学生完善自己的解题步骤． 解：根据题意，每一层的笔数构成一个等差数列：，，公差． 由，解得n=81． . 答：这个笔架上共放着4860支笔． 师：第一个公式涉及等差数列的首项，末项和项数，分别对应梯形面积公式里的上底

7、、下底和高．还记得梯形面积公式是怎么推导的吗？ 生：在梯形边上倒放一个全等的梯形，把梯形补成平行四边形．（多媒体演示） 师：很好．把梯形进行补形处理，对应着推导等差数列前n项和的倒序相加法.公式的推导方法和结构形式均相似．梯形面积公式还有第二种推导方法吗？ 生：还可以把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形． （多媒体演示）分割法对应推导公式的第二种方法，推导方法和结构形式也均相似．梯形的面积公式可以帮助我们记忆等差数列前n项和的公式．例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施