一类数列求和公式的推广.doc

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1、一类数列求和公式的推广武汉市江夏区一中李新桥在高中数学“数列”这一章，我们经常用到数列=的前n项和公式，即=+++…+=n(n+1)(2n+1)，同时也会用到数列=的前n项和公式，即=+++…+=(n+1)如果将通项的次数升高，例如=，=或=n，其前n项的和又将怎样求呢？这是一个有趣的数学问题，我们不妨先求=的前n项和，看看能不能得到什么启示。构造等式：(k+1)(k+2)(k+3)=+6+11+6k又k(k+1)(k+2)(k+3)=[k(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)]∴∑k(k+

2、1)(k+2)(k+3)=∑(+6+11+6k)=∑+6∑+11∑+6∑k=∑+n(n+1)[+n+]又∑k(k+1)(k+2)(k+3)=∑[k(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)]=[(1×2×3×4×5-0)+(2×3×4×5×6-1×2×3×4×5)+…+n(n+1)(n+2)(n+3)（n+4）-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]=n(n+1)(n+2)(n+3)（n+4）∴∑=n(n+1)(n+2)(n+3)（n+4）-n(n+1)[+n+]=n(n+)(n+1)(3

3、+3n-1)由以上的解法可以得到一些启示，即这种形式的一类数列求和问题，能否都可以采用前后各添一项的办法，裂成相邻连续自然数之积的差，以便于前后相互抵消呢？我们再用这种方法来试一试=的前n和.构造等式：k(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）=+10+35+50+24k又k(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）=[k(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）(k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]∴∑k(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）=∑+10∑+35∑+50∑+24∑k=∑+n(n+1)[2++n+

4、20]又∑k(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）=∑[k(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）(k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]=[(1×2×3×4×5×6-0)+(2×3×4×5×6×7-1×2×3×4×5×6)+…+n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)∴∑=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-n(n+1)[2++n+20]=(n+1)(2+2n-1)因此

5、，这种方法对于m=5也成立，故可以推广到数列=n(m∈N*)的求和之中。构造等式：k(k+1)(k+2)…(k+m-1)=k++…+(m-1)！k又k(k+1)(k+2)…(k+m-1)=(m+1)[k(k+1)(k+2)…(k+m-1)(k+m)-(k-1)k(k+1)(k+2)…(k+m-1)]∴∑k(k+1)(k+2)…(k+m-1)=(m+1)∑[k(k+1)(k+2)…(k+m-1)(k+m)-(k-1)k(k+1)(k+2)…(k+m-1)]=(m+1)n(n+1)(n+2)…(n+m)∴∑k=(m+1)n(n+1)(n+2

6、)…(n+m)-[∑+…+(m-1)！∑k]当∑，∑……∑，∑k都求出时，再按照这种构造等式的方法，两次用不同的手段对同一数列求和，便可以求出=∑k=1+2+…+n=(m+1)n(n+1)(n+2)…(n+m)-[∑+…+(m-1)！∑k],这样便推广到数列=n的前n项和公式。（说明：为了书写简便，以上符号∑均表示数列前n项和）参考文献：《全日制普通高级中学教科书.数学》第一册上（必修），人民教育出版社2005.3作者简介：李新桥男32岁中学一级教师