数列求和问题的解法探究与教学思考

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1、数列求和问题的解法探究与教学思考——知其然，知其所以然曹杨二中汪哲豪摘要：本文选取了一些有代表性的数列求和问题，探讨了它们的解法，分析了“为什么想到这么做”的原因。以这些求和问题为载体，可以判断教学的效果，分辨一知半解的学生。关键词：数列求和、课堂检验一．选题缘起每一堂课，老师们在教材讲解、设问策略、例题选取、板书设计等各种细节上精雕细琢，同学们也会研究五花八门的听课技巧、学习方法。这都是更好地掌握这堂课涉及到的知识点。图1写完一份详实的教案，上完一堂让自己满意的课，并不是教学的终点。学生到底有没有

2、理解老师想要贯彻的那些知识点呢？掌握到什么样的程度？想要了解这些问题，仅仅用——“懂了吗？”——“懂了。”这样的对话并不会有什么实际效用。况且，学生自己未必能准确认识这件事。打个比方：一堂课后，如果说学生确实掌握的部分是集合，那么学生自以为掌握的部分也许是集合，而更麻烦的是，学生也许并不清楚全集是什么样的。这种认知偏差的影响不可低估。不过，学生的反馈仍然重要。经常有学生说，课上听听觉得十分简单，可是轮到自己动笔的时候却又摸不着头脑；还有学生会问，老师你是怎么想到这样处理的；也有学生声称，这类问题他知

3、道“套路”，但是，为什么要用这个“套路”，其实还是不太清楚。这个规范流程背后的道理是什么？流程中的第二步可以省略吗？笔者认为，选用恰当的练习题，根据学生的完成情况以及所消耗的时间，可以较准确地估计学生运用所学知识解决相关问题的能力；本文将以数列求和问题为研究对象具体探讨。二．文献综述2.1．关于数列求和问题，常见的方法有这样6类：陆细桂.例谈数列求和的常用方法与技巧[J].上海中学数学,2008(6).①公式法，如：对于等差数列有；②倒序相加法，如：对于等差数列有：；③错位相减法，如：已知等差数列、

4、等比数列，对求和；④裂项相消法，如：对数列求和；⑤恒等式法，如：利用求和；⑥分组求和法，将数列拆分为几个可以求和的部分再分别进行操作；其中，①与②是常规问题，分析获取相关数据后代入即可。③、④、⑤有一些变化的余地，将在后文具体举例。⑥体现的是转化与化归的思想，将复杂对象进行合理分割后，利用前述的策略各个击破即可。2.2.数学科学具有高度的概括性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。有许多抽象的数学定义，在经历了漫长的历史发展过程后，最终以最精确、最概括的科学性定义方式呈现，这对学生的理解造成了困难。接受假设

5、，甚至是不理解地接受假设，是数学认知的助推器何小亚,李湖南,罗静.学生接受假设的认知困难与课程及教学对策[J].数学教育学报,2018(4).这样看来，有些同学在学习和解题过程中生搬硬套也是有合理性的。三．正文3.1．错位相减法问题1已知两个数列：、，其中，求的表达式.【分析】错位相减法是出现在课本上的内容，它是在推导等比数列前项和的公式时被使用的方法。而相比这个方法，学生对于被推导出的公式结论更青睐有加。能够顺利求解等比数列前项和的同学，未必都能顺利完成此类问题。原因主要有二：①部分学生习惯于硬背

6、公式、②此类问题的计算复杂度要略高于等比数列前项和的求解。解：注意到数列的公差是，数列的公比是；两式相减得：，【回顾】掌握结论固然重要，掌握推导出这个结论的方法也是需要的。此类题目结构特征鲜明，在处理时，关键要抓准通项公式中所透露出来的局部特征：“公差”、“公比”。由于特点鲜明，此类题目初次出现时，检测效果最佳。在课堂上介绍了等差数列的前项和公式，学生完成必要的基础练习后，若还有时间，可以作为下课前的最后一题，或者也可以留作当天的回家思考题。此题可以检验学生对错位相减法的掌握程度。3.2．裂项相消法

7、问题2已知数列，，求它的前项和.【分析】关于裂项相消法，学生们往往熟练掌握了的前项和，，但是部分学生在解决本题时会有些困难。原因在于没有处理好分母上的“”这个变数，它一共影响了两件事：①裂项的表达式、②求和表达式的抵消思路。解：，（*）【回顾】本题解答篇幅不长，但是对思维的要求不低。（*）式如果书写不当，将会增加下一步抵消的难度。如，有的同学写了前2项就加省略号再加最后一项：，这种写法就不如解答中的那种直观。关于下一步的抵消，是需要重点向学生讲解的步骤。要讲清楚：怎样抵消？还剩什么？怎么写？怎样抵消

8、：可以看到，将整个数列的奇数项、偶数项各分为一组，它们在裂开后可以组内抵消。还剩什么：裂项相消后，每一组应当剩下第一个数及最后一个数。但是不知道是奇数还是偶数，所以每组的最后一个数的写法是需要讨论的。怎么写：从整体考虑，与必定一奇一偶，于是问题迎刃而解。本题可以请学生作数据上的改编，有助于提高他们的理解程度。3.3．恒等式法问题3已知，，求数列的前项和.【分析】此类方法的难点在于：恒等式的记忆以及临场化用。虽然题干中提供的式子是作为数学归纳法的例题出现的，学生并不陌生