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1、非数列问题的数列解法探究函数思想贯穿于整个高中数学课程，数列作为一类特殊函数，历年来是高考和竞赛考查的重点，利用数列思想解题，可以增强学生知识的系统性以及数列与各知识间的相互联系和渗透。本文是笔者在教学过程中对数列思想在非数列题中的渗透和应用作的一些归纳，供大家参考。一:不等式中的数列思想例1：设任意实数满足.求证：。分析：本题可用算术平均数大于等于调和平均数证明，但若能联想到无穷递缩等比数列的求和公式：,则求解简洁明了。证明：因为,所以.故评注：类似还可证第36届IMO试题：设abc为正实数，且适合abc=1,求
2、证：++（提示：记S=++，则0〈〈1，∴=＝＝（＋＋＋…），另两式同样变形本题即可证）二：方程（方程组）中的数列思想例2：解方程：分析：本题初看与数列无关，但我们可以根据已知条件的结构特征，把方程中的三项构造成等差数列，然后利用等差数列知识求解。解显然,,成等差数列,故可设得：所以.如果,代入到(1)中解得,是增根,舍去.因为符合题意,所以是原方程的根.例3：解方程组解由(1)得：,解得,即,则成等比数列.于是可设代入(2),整理得,解得.即.故;;;.经检验,上述四个解均为原方程组的解.三：向量中的数列思想例4
3、：已知、分别是x轴、y轴方向上的单位向量，=，=5，=2（n,n）,=3+3,=2+2(n)(1)求；(2)求、的坐标；（2003海淀区测试题）分析：仔细观察题设两条件=2（n,n），=2+2(n)，不难发现向量{}构成公比为的等比数列，向量{}为一常数列,善于挖掘这一隐含条件是解决本题的关键所在。解（1）∵=2，∴=而=5-=4，所以=（2）当n=1时，==，当n2时，=+++=+[4+2++4]=[1+]=（9-2）当n时，=（0，9-2）。=+++=3+3+（n-1）(2+2)=(2n+1)+(2n+1),所
4、以=(2n+1，2n+1)四：二项式中的数列思想例5：求证<3(n)分析：解决二项式问题往往从通项公式入手，本题也是如此，本题的立足点是把二项式的通项公式转化为等比数列的通项公式，从而向所证目标靠近。证∵=++++又∵==（1-）（1-）（1-）<<∴<1+1++++<2+=3五：函数中的数列思想ABmnkC计算装置例6：如图是一个计算机装置图，A、B是入口，C是计算结果出口。计算过程分别由A、B输入自然数m和n，经过计算后得到自然数k，由C输出。若此计算装置完成计算满足以下三个条件：①若A、B分别输入1，则输出结
5、果为1；②若A输入任何固定自然数不变，B输入的自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若B输入1，A输入的自然数增大1，则输出的结果是原来的2倍。问：（1）若A输入1，B输入2，输出的结果是什么？（2）若A输入1，B输入自然数n，输出的结果是什么？（3）若B输入1，A输入自然数m，输出的结果是什么?（4）若A输入自然数m，B输入自然数n，输出的结果是什么?分析：②知：在m固定的前提下，f(m,n)关于n构成公差为2的等差数列，由条件③知：f(m,1)关于m构成公比为2的等比数列,本题通过引入数学记号，就把函数问题转
6、化为熟知的等差、等比数列问题。六：解析几何中的数列思想例7：如图：F1、F2分别是椭圆的左右焦点，当离心率在什么范围内取值时，椭圆上总有点P使PF1^PF2。分析：本题有多种解法，若依据椭圆定义
7、PF1
8、+
9、PF2
10、=2a，可知
11、PF1
12、，a，
13、PF2
14、构成等差数列，这样问题就很容易得到解决，解：Q
15、PF1
16、+
17、PF2
18、=2ayxF2PF1∴
19、PF1
20、,a,
21、PF2
22、构成等差数列故可设
23、PF1
24、=a-d,
25、PF2
26、=a+d又QPF1^PF2∴
27、PF1
28、2+
29、PF2
30、2=
31、F1F2
32、2即(a-d)2+(a+d)2=4
33、c2即a2+d2=2c2³a2∴e2³,即故当离心率在取值时，椭圆上总有点P使PF1^PF2。
