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1、shwc~不等式在积分不等式t证明中的应用陈国先、。积分不等式的证明以及积分上下界的估计是重要的数学技能之一但在数学分析,。``教学中解决这类问题的工具通常只是初等不等式与中值定理其实笋h翔va不等式也,,。是有力工具之一可惜初等分析中很少涉及更谈不上使用技巧的培养了但在尸空“、,间理论(以及涉及L空间的数理方程泛函分析等后继学科)中由于这一内容的初,,只。,等性也一带而过管大量使用为了解决其间衔接问题本文把国内外部分教材中的,,。散见内容加以整理供作分析习题或低年级学生的阅读材料h招才,。“。无cR,,
2、cS。不等式即C夕一BynooB时不等式在L空间理论中起着重要作,正因此。:,。:用它本身和作为其推广的H6ld不等式逆H创d不等式也在数学中大量,.使用对此本文不拟涉及。xa、,定理(带权Shc招。不等式)设p()是在〔b〕上非负有界可测函数x、xa,,f()g()在[b〕上可测又·Z··+·’·X+.,(),p()“<一,“,,p`,`乙一J:I:那么····’·Z·g(·Zp`·,()g():()`、!,()!p()“二,),)`一“)}丁{!丁{丁:证法一。注意到·x2·xIf(x)12P(x)g
3、(){P()If(x)g(x)IP(x)簇,--+}一一2一2从而f`/,g`/,尸`/,“/乙+丁:.co,,对于任意实数入群都有。·+召g·’·X、〔“`,`,〕p`,“J:一`2:···+2`;···,`)p`,`“,g`,p`,`厂丁!一;2“29+XXX))(p(d丁2),···X,。一2···特别对于入厂()g()p()`;()p()`一丁:f:-不等式,即’、/-(2)仍然成立。、·)···22/·,(g()p()`,()p`)`l丁!)工{一一2·)。(·)一:ic(),2(·)尸(·)(
4、仆“到:+dx·2··`·2···厂()p()`9`,p`,`(丁:x)丁:一2···2·厂()尸()dx9`,尸`l丁:丁:x()一一·g(···’2···丈())p()`厂`)p`,`(丁:)〕丁:2义··,.2·X如果,():()d7。(1)已获证如果,()p()d一。丁:丁:x、a,,xxx。a,那么f()=OPP于〔bj从而厂()g()P()=OPP于〔b〕X)/XX一0,所以厂(g()p`)d“,。J:式也成立,,x+拼g注1)在上述证明中易见在(2)中等号成立当且仅当入沂()(x)一Op.a
5、,.x,xa,,p于[b]即当且仅当f()g()在〔b〕上几乎处处线性相关时(l)中的等号成立.,、、,对于没有测度知识的读者来说可以把厂(x)盯x)P(x)都理解为连续函数后即可掌握上述证法.否则可以换用下述.,,,证法二在正方形a[b;ab〕二(P)上考虑积分Xg`,,,g`X’p`X化B一〔厂()卜厂`,〕,尸`,,`d“告I丁(P)2:(··92一···一,)“(;)p(,)`,“)g`,p()`二+告丁:丁;丁:丁f(夕)g(,)P(万)d万+“Z.“2x二、,零!r(;):(,)、,9():(
6、)、f口a乙JJ,再利用积分与自变量记法无关2···,2····’.B一,(),()d()9()尸(X)“,()g()p()dX丁:丁:一【丁:I因为在积分B,,B》0.由此就.中被积函数非负故得出所要求的不等式(l)这一证法虽利用了矩形域上二重积分的计算公式.但有利于把单积分表示成二重积。分的转换技巧的训练注,2)证法一显然只利用了积分存在和积分运算的线性并没有用到积分区域的特,a、,,性因此对于b之一或两者均为无穷的广义积分或者对于反常积分来说也仍然.,a,,.成立例如当毛b〕是〔。+co)时(1)仍
7、然成立。,,推论1对于阵幻上的平方可积函数fg有·g(···Zg(·2,,,())!`、},()}d二}):“I:了厂了丁:,a,..而且等号成立当且仅当了(x)g(x)在〔b〕上PP线性相关,xx。a,,x,9x这只要在定理1中取P()二1([b〕)后对于}f()}1()1应用定理1和往1)即得.`h。,:,,(2)型的S不等式对于复值函数也是成熏的甚至对于以复值函数作分量的矢量函数也成立。COCOa,。如果护<+cob+,`推论2艺艺8、定理1中让P()~1在〔1co)上考虑、.沪
9、x`,x〔,2)a、[1`入al…〔l!八i!
10、x〔,x〔,[2…〔23).ó产:x了几、f()=gX一x。n,n+x。「n,n+1)〔1)又,即.当然也可以把积分换成和式并注意到积分对积分区域的可加性不难得出(3),a+n’.后仿照证法一直接考虑和式叉(`;”)去证明(”)(”)就是级数形式斤一1。cha的S招昭不等式,,x,附带指出(1)(2)(3)在抽象的内积空间中统一成为!
