微积分理论在不等式证明中的应用

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1、微积分理论在不等式证明中的应用微积分理论在不等式证明中的应用　1.引言.L.　　不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系。在高等数学中，不等式是证明许多定理与公式的工具。不等式表达了许多微积分问题的结果，而微积分的一些定理和公式又可以导出许多不等式。不等式的求解证明方法很多，本文用微积分的一些定理及性质来说明不等式证明的几种方法与技巧，以便更好地了解各部分内容之间的内在联系，从整体上更好的把握证明不等式的思想方法。　　2.微积分在证明不等式中的应用　　2.1用导数的定义证

2、明不等式　　从导数、微分、积分定义出发处理不等式，是容易被忽略的，但这种最原始的方法有时又是一种非常有效的证明方法。　　导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限存在，则称函数在可导，称这极限为函数在点的导数，记作。　　证明方法：　　(1)找出，使得恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究。　　适用范围：　　用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的。　　2.

3、2利用函数的单调性证明不等式　　函数单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式归结为某函数，通过对所设辅助函数求导，借助导数符号来判断函数的单调性，从而解决问题。　　定理：若函数在可导，则在内递增（递减）的充要条件是：　　.　　定理：设函数在连续，在内可导，如果在内（或），那么在上严格单调增加（或严格单调减少）.　　定理：设函数在内可导，若（或），则在内严格递增（或严格递减）.　　上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.　　证明方法：　　

4、（1）构造辅助函数，取定闭区间；　　①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；　　②利用不等式两边相同形式的特征构造辅助函数（见例3）；　　③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）。　　(2)研究在上的单调性，从而证明不等式。　　实用范围：　　利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处的值为0，然后通过在开区间内的符号来判断

5、在闭区间上的单调性。　　2.3利用Lagrange中值定理证明不等式　　应用Lagrange中值定理求解极限就是将极限当中符合条件的函数值增量处理为自变量增量与导数之积的形式再进行讨论，此时一定要注意：(1)应用Lagrange中值定理必须符合定理本身的条件，否则可能使结论不成立；(2)在随后的极限的求解中一定要论证ξ的变化趋势。　　拉格朗日中值定理：.L.若函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得。　　拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数

6、符号之间的关系。　　证明方法：　　①辅助函数，并确定施用拉格朗日中值定理的区间；　　②对在上施用拉格朗日中值定理；　　③利用与的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式。　　适用范围：当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明。　　2.4利用极值理论证明不等式　　证明方法根据极值的充分条件定理。　　定理：（极值的第一充分条件）设在连续，在内可导，（i）若当时，,当时，,则在取得极大值；(ii)若当时，,当时，,则在取得极小值。　　定理（极值的第二充分条件）设在的某领域内一

7、阶可导，在处二阶可导，且，,(i)若，则在取得极大值；(ii)若，则在取得极小值。　　极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑。若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值。极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系。　　证明方法　　（1）构造辅助函数，并取定区间。　　①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；　　②当不等式两边含有相同的形式时，可利用此形式构造辅助函数；　　③当不等式形如（或）（

8、为常数）时，可设为辅助函数。　　(2)求出在所设区间上的极值与最大、最小值.　　①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.　　②最大、最小值的求法：（1）闭区间上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间内可导函数的最大值、最小值的求法：若在