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《微积分中不等式的证明技巧》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题课一、积分不等式：1．利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1、证明不等式.证：注意在区间[0,1]上有,……例2、证明不等式.证：考虑函数,.易见对任何,在区间上和均单调,因此可积,且有,注意到,就有.而,.因此有.取,.在区间仿以上讨论,有.而，10/10.综上,有不等式.2、某些不等式的积分推广:原理:设函数和在区间上可积.为区间的等分分法,.若对任何和,均有,即得.令,注意到函数和在区间上可积,即得积分不等式.倘若函数和连续,还可由.例3、证明Schwarz不等式(亦称为Cauchy–Буняковск
2、ий不等式):设函数和在区间上连续(其实只要可积就可).则有不等式.证法一：(由Cauchy不等式Schwarz不等式.Cauchy不等式参阅10/10[1]上册P4Ex第10题:设和为两组实数,则有.)设为区间的等分分法.由Cauchy不等式,有,两端同乘以,有,令,注意到函数、和在区间上的可积性以及函数的连续性，就有积分不等式.证法二：（用判别式法）对任何实数，有，,即对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数,于是就有10/10,即.例4、且.证明不等式.证：取.对函数和应用Schwarz不等式,即得所证
3、.例5、设函数在区间[0,1]上可积.试证明有不等式.证：先用Jensen不等式法证明不等式:对,有不等式.(参阅上学期期末考试题第21题)设为区间的等分分法.由上述不等式,有.令,注意到函数和在区间[0,110/10]上的可积性以及函数和的连续性，就有积分不等式.仿该例,可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式.例如[1]P334—335Ex2，6，8.二、面积函数的导数:例6、求和例7、求和例8、求.例9、设时函数连续且.求.(=)例10、设函数连续且.求和.解：令.两端求导,=.例11、设.
4、=.试证明:=.10/10证：=,=.例12、设函数在区间上连续且>0..试证明:函数在区间内严格递增.证：=,而.>0,在内，又连续，，在区间内>0.因此在区间内严格递增.三、含有变限积分的未定型极限:例13、求极限.(2)四、定积分的计算:例14、计算积分.10/10例15、计算积分=.解：时,=;时,=;时,=.因此,例16、利用积分的值(参阅§4例15或[1]P306E8),计算积分.解：.,10/10而,.因此，例17、,求(2)[4]P215E62例18、设是区间上连续的偶函数.试证明:是上的奇函数.证法一：.
5、证法二：注意到,有==.五、利用定积分求和式极限:参阅[3]P162—168.原理:例19、求极限.[3]P163E13.与§1例2连系.例20、求极限.10/10解：==.由函数在区间[0,1]上可积,有=..例21、求极限.[3]P167E19解：==.,.因此,.例22、试证明:对任何,有不等式<.证：=是函数=在区间[0,1]10/10上相应于等分分法的小和.由函数=在区间[0,1]上可积,有时,↗.又易见↗↗.对任何,有<,即<.习题：P309—3102，3，8—11；P249—26020—24，41—43，48
6、—51，54，58，63，64，65，95，96⑶，97，98⑴，101，106，112，113.10/10
