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《微积分在不等式证明中的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1引言微积分学是微分学和积分学的总称•它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分•微积分是高等数学屮的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，可以根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式.文献[7],[10],[17][20]介绍微积分在不等式证明中的应用，得到一些一般结论•不等式的证明在数学学习中既是一个重点也是一个难点，方法也很多，在此提岀了求证不等式的儿种方法，其在实际应用屮具有较
2、高的价值.1.1微积分的定义1.1.1微分的定义定义1设函数y=/(x)定义在兀。的某领域U(兀0)内.当给兀。一个增量心，x0+Argl/(x0)H'j',相应地得到函数的增量为Ay=/U0+Ax)-/(x0)・如果存在常数A,使得Ay能表示成Ay=AAx+6>(x0),(1)则称函数/在点兀可微，并称(1)式中的第一项4心为/在点兀。的微分，记作dyI=AAx或df(x)I(2)X-勺X-Xq由定义可见，函数的微分与增量仅和差一个关丁心的高阶无穷小量，由于dy是心的线性函数，所以当Ah0时，也说微分dy是增
3、量△)；的线性主部.容易看出，函数/在点心可导和可微是等价的.1.1.2积分的定义定义2设.f是定义在[°,列上的一个函数，丿是一个确定的实数.若对任何给的止数£，总存在某一正数使得对[/列的任何分割以及在其上任意选取的点集{《•},只要卩
4、
5、<5，就有工/(d_丿<£，匸1则称函数f在区间［a,b］上可积或黎曼可积；数J称为f在［ayb］上的定积分或黎曼积分，记作J=£fx)dx・其屮，/称为被积函数，x称为积分变量，［。,列称为积分区间，a>b分别称为这个定积分的下限和上限.2微积分在不等式证明中的应用2
6、.1微分在不等式证明中的应用2.1.1用导数的定义例1设/(x)=a,sinx--a2sin2x+…+a“sinnx,已知
7、/(x)
8、<
9、sinx
10、,证明a{+2a2+...nan<1.证明：方法1：因为/(0)=0,/.limA->0由已知翠严(兀HO),■/(兀)一/(0)x—0由
11、/(x)
12、<
13、sinx
14、,得(x工0),即sinxsin2xsinnxa】Fcir…+•两端同时取x->0时的极限得limXT8sinxaxsin2xsinnx+ci^...+cinXX15、「sinfcx,lim=kX—>0YaA+2a2+...naHW1•证毕•2.1.2利用微分中值定理即a{+2@+…叫<1.导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形进行证明•方法2：定理1(罗尔定理):设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间［a,b］±连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)二f(b)；则在(a,b)内至少存在一个点使得f(0=0.定理2(拉格朗H中值定理):设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间［a,b］±连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少
16、存在一个点g,使得f'(§)二0・定理3(柯四屮值定理):设函数f(x),g(x)满足条件：(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内均可导且g'(x)H0；则在(a,b)内至少存在一个点g，使得蚀—g二厂©或WS=L^L.b_ag(b)-g(d)g(§)例2已知b>a>0,证Dj］^-0)_h连续且可导,f(x)=丄，又gw(a,b),X根据微分屮值定理的条件，有ln/?~lnfZ=-,而丄〈丄<丄，因此717、~,b-a歹bgabb-aa即巳4匕・baa例3设-lWx,ySl,证明丨arcsinx-arcsinyI>Ix-yI.证明：设f(z)二arcsinz,它在［-1,1］上连续且可导,f(z)=「,Vl-z2又^e(-1,1)，根据微分中值定理的条件，有竺沁二竺皿二亠，而兀一)'J1—严/1>1,因止匕Iarcsinx-arcsinyI>Ix~vI.如果要证明的不等式或将要证明的不等式简单变形后,与微分屮值公式的结构有相似性，就可以利用微分中值定理来证明，采用这种方法耍注意的是构造一个辅助函数，然后利用公式证明
18、.2.1.3利用函数的单调性函数不等式是判断函数Z间的大小关系•基于这种思想，可以利用函数单调性证明不等式•皐本思想:将不等式两边的函数移到同一端，并作辅助函数;利用函数一阶导数的符号判断函数在所给区间的单调性;根据函数的单调性，得到所求不等式.定理4：设函数y=f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导(1)若在(a,b)内，f'(x)>0,那么函数y=f(x)在［a,b］上单调
