微积分在不等式证明中的应用.pdf

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1、··14中等数学’.BI是`B的平分线。r·、b一几t1

2、一一UL一,._2。ro~`.尸一一石万一.一~二一,二-r。,一廿i二一一万二二艺找一.~之_”*~.”5InUó乙台tll`0舀一2一2杯八一J。.`一一一日2一,b砂几一t.b,一b一1“一RZ=ZRr(欧拉公式)又’,.0.洲厂.’0I2+BIZ=R2根据勾股定理逆定理可知△OBI为直角三角。形=r,IE本、,,例运用分析法综合法找到了证题思路B。8In=圆满地完成了命题的证明分析法与综合法的联合2—,。使用是探求解题思路的常用方法运用分析法的.BBEb,COS过程是从结论出发逐步寻找结论成

3、立的充分条2BlZBI;,一件运用综合法的过程是从题设条件出发逐步寻。=Bl:找题设成立的必要条件依据充分条件与必要条件即Bl,。B的传递性保证了的推理的正确性对于一些难度较5in—Zcos一,。—之大的数学命题常采用分析综合法得出解题思路:上面两式相乘得(作者单位江苏省共县望亭中学)微积分在不等式证明中的应用杨肇度,.)设有:=:。。现行中学数学教材中编人6使中x()(0了有关微积分的,,x:。,产,xx。一些初步知识学生学了这部分内容以后如何应如果当>时小(x)

4、本文拟在这方面提供一些适合中学生水平的方小()<中()《法。不,。于是妥之处请指正f(xx,)o则在(j时x,,要比较f()与gx()的大小只须判明函数小x()是增函数因此x=x一x。,xxx。。,中()f()g()的符号为此可求出中()的小()<中()健,导数护x()(假定中x()可导)并确定出解x()的也得.,。f(x)0求证使小多xx。,产,xx。如果当>时中(x)>0那么当妻时xe一`In(+

5、x<1)<,1+x中(x)是增函数因此亿中x))小(x。)。,xe一’In+x(多证明先证<(1)(1)一’.(x)=xe一In(1+x)于是设小f(x)>g(x);求得xx。,尸0,x:。如果当<时中x()<那么在镇时e1一xZ)一1中尹(x)=一(,小x()是减函数因此1+xxx。,xO,1十x。,。e飞,中()>中()妻。因为>所以分母》又<一<一xZe1一xZ一1O,也得l<1所以分子一`)<由.f(xx)>g()此得1983年第二期尹.(x)<小0所以二,x,x,又中(0)。所以拟x)在多0时是减函数因小()<0此因此x=.小()<小(0).一:

6、sin:生<从而1)。(式成立`”`’+·’<再证(2)气、不溉二利用函数的最值证明不等式·’=`t`,+X,一设“再有的不等式还可以考虑用求函数最值的方法进寿行证。明求得,欲判断f(x)与g(x)的大小我们求出函数2l+x一+x产x=了(2)x二f(x一g(x冲()中()))2(i+x)了I干玉。在给定区间上的最大值或最小值,.x00因为>所以分母大于又因为2了I百不>,,如果最大值非正那么小x()心。由此得o,2`0,2’2+x乞,于>及(杯石王)<()有f(x)《g(x),,.2召了了妥<2+:所以分子小于0由此得,(x)),如果最小值非负那么中0由

7、此得..盆x产(x)0>0求证所以(2)式成立。.,xZ一ax+e2n1的自然数(Z1)一<1例是大子求证一+1e’,1一1)>亿万.证明只须证明护2狂o>2(了孟不i证明设拟:)二2(一1)一0)了云干丁亿了一设小x)二(:2一Zax+l)一e’,(则:2)(产’.)可得中(x)二Zx一Za一e,_为了判断护(幻的符号需先求护(z)在开区/乙几,+。1十间(0co)内的最

8、值为此求得1一,(x)=一e’.尹(x)=今2中2x+了:)=o,,(:)(0,+令材(求得中在开区间aO)x二,’内有唯一的驻点In2并求得此时小x()有极大x2,产0,。当)时中(x)>所以中(x)是增函数但,值中(2)二2(一1)一0训百了下>.中产(InZ)=ZlnZ一Za一2,x,,n’x,所以当)2时因此今(IZ)也是中()在区间(o丫o)内的.x)>小(2)>0。a0,,中(最大值因为>所以护(In2)了王r(x)<0,小,n2,2(一x0,。=0.从而当)时了石百11))了五所以在>时小(x)是

9、减函数但小(O),.,当x0小二0、.,.所以)时(幻<拟0)。、