导数在证明不等式中的应用.pdf

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1、课程解读仑离．不笔的明在袖广窈可、、J巳。寸数法，构造法，分析法，综合法等若干方法，但是有些中减学，但生要证效明理e>l亿l(，，掌则需研另费版周折，因此，本题还是选择以。在要笔’为自变量来构造函I数好，由本例可知用函数单调性证明不等证一篓妻兰嵩’：⋯⋯明錾薹耋：：．-r-．i~lj溢矗．证明不等式不遘篓要兰兰之1导数除，刍至篓：苎_丁是的最：布要警函数后主羞主=I：春利用量⋯⋯某蕃中霞⋯L'直接李醐IJ月导数醐单调一‘，⋯⋯的性来--r-：no--r"蓑~一⋯．。⋯⋯析：证明较困，构造数／()一2一J立要数；!要z一l(x’，0j

2、，。二大于等于用1增：鼍二呈、越大厂c，在[；，+最值．⋯⋯⋯一。函数，址明：矍址原瓦，需嘉让：—一Z2”一1>0，≥3一盯时厩成立．‘‘分析：本题要证明z>1时，有l肘>等与成立，只需．z≥3，．。．厂(z)≥2。ln3—2>0．．．_厂(z)在[3，+。。)上是增函数，．’．1厂(z)的最小值为_厂(3)=2。一2×3—1—1>0．所以，n∈N，≥3时，l厂()≥厂(3)>O，即≥3时，2一要构造函数厂()一ln一兰高，使得z>l时，有厂(z)>o2一1>0成立．恒成立即可．4．利用凹凸函数证明不等式证明：令厂(z)：1眦一型≥

3、，则／()一{一虽然函数的凹凸性在中学数学中不做要求，但它经常在考试中作为新定义型的题目出现，并且以选择题或填空题为[=三±)二!三二4-一一—(x+1)~-4x一一————主．下面给出凹凸函数的定义以及一个函数凹凸性与导数关(z+1)z(z+1)z(+1)(z～1)系的一个定理，相信这种方法可以让大家做此类题时减少很x(x+1)多运算，节省很多宝贵的时间．由z>1知，厂(z)>o，所以，(z)单调增加，于是当>1定义：设l厂为定义在区间I上的函数；若对j上任意两点z，z和实数A∈(O，1)总有fO,x1+(1～A)z2)≤厂(z1

4、)+(1时，有f(x)>，(1)一o，即得：1nz>兰．-a)f(xz)，则称厂为J上的凸函数．特别的，当一÷时，2．把不等式变形后再构造函数，然后利用导数与函数单调性关系证明不等式当不等式较为麻烦，或者很难直接构造成比较常见的函_，()≤．数时，我们通常先把不等式进行化简或进行等价变形，然后再反之，如果总有不等式f(ax+(1-a)x2)≥_厂(z)+(1构造函数．-A)f(xz)，则称f为I上的凹函数．特别的，当=÷时，例2已知n，6∈R，b>a>e，求证：n>ba(e为自然对数的底)．厂()≥．分析：要证>6n，只需证[ha>

5、lnb。，即证blna—alnb>定理：设，为，上的二阶可导函数(即导函数仍然存在导0．即证xlna>alnx成立．所以我们可以构造函数，(z)一x

6、na函数)，则f为J上凸(凹)函数的充要条件是在，上(z)≥o～alnx，然后只要证，(z)在(e。+cx。)上递增即可．(()≤O)．证明：要证ab>扩，只需证lnab>l，即证blna-alnb>O．例4证明：当x~y时，有e字<(e+e)．设厂(z)一zl眦一口lnz(z>口>e)；则厂()一lna-÷，证明：由于在所证明的不等式中有e的形式，因此可’’．a>e，x>a．’．1n

7、a>1，÷<1，厂(z)>o，因而，(z)用函数的凹凸性证明，为此，令厂(f)一e，则()一e>0，于在(e，+co)上递增．是函数，(￡)=et为凹函数，从而对任何z，Y有f()<‘．‘b>a，．．，(6)>，(n)；故blna—alnb>alna—alna一0即blna>alnb，所以>成立．÷[-厂(z)+_厂()](≠Y)．即e<丢(e+ey)．注意，此题若以n为自变量构造函数f()一blnx—xlnb注：本例可以推广到如下的不等式，即(eo时z<，／(z)<

8、o时z变式训练：>，故，()在区间(e，b)上的增减性要由e与的大小而一周宁学习了三角形内角和为180。以及外角和为360。，我们就2；选项D的1与2相等．可以利用三角形的内角和，三角形内角和外角之间的关系解解：选C．决一些计算或说理问题．例4已知：如图4，AB∥DE，一、根据三角形的内角和以及平行线的有关性质解题E=65。，求B+C的度数．例1如图1，已知DE∥分析：观察图形可B、C是．BC，EFAB，DEF一50‘，C△FBC的两个内角，要求B+一70。，则A一．C的度数，根据已知条件E：D分析：要求A的度数，可根65。，只要找

9、到B+C于E的关系即可．因为AB∥DE，根据两图4据三角形的内角和等于180。，先确定B的度数．根据DE#BC，可得C直线平行性质可得CFA一E，而CFA又是△BCF的外EFC=DEF=5O。，根据AB∥角，根据外角性质，可得CFA=