重积分在积分不等式证明中的应用.pdf

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1、第13卷第3期杨凌职业技术学院学报Vo1．13No．32014年9月JournalofYanglingVocational&TechnicalCollegeSep．，2014重积分在积分不等式证明中的应用黄云美(泰州学院，泰州225300)摘要：重积分在积分不等式的证明中占据了重要的地位，笔者例举了利用重积分证明积分不等式的四种方法，并将这四种方法应用于积分不等式的证明。关键词：二重积分；定积分；积分不等式；均值不等式中图分类号：O172．2文献标识码：A文章编号：1671—9131(2014)03—002707Applicationsofthe

2、ProofontheIntegralInequalitybyDoubleIntegralHUANGYan—mei(SchoolofTaizhouUniversity，Taizhou225300，China)Abstract：Doubleintegralplaysanimportantpartintheproofofintegralinequality．Inthispaper，fourwaysarepresentedtOsolvetheproblemsofintegralbymeansofdoubleintegral，andthesefourway

3、sareappliedtOtheproofofintegralinequality．Keywords：doubleintegral；definiteintegral；integralinequality；AMGNinequality命题得证!0引言此命题看上去非常的简单，但是在应用中非常在一些积分不等式的证明中，被积函数不确定，有技巧性，用此命题来证明下面的不等式：因此不能求出具体数值，这时可以将一元积分式转例1设厂(z)，g(z)在[n，6]上连续，且满足：rzr6化为二元积分式，再结合二重积分的性质或结合均I-厂(￡)dt≥g()dt，∈Ea

4、，6]，I厂(￡)dt：值不等式等方法进行证明。√aJdrl6g()dt，1重积分在不等式中的应用√口证明1．1应用一：直接增元法Ir6xf(x)dx≤Ir6xg()dx．命题一：若厂()，g(z)在[＆，6]上可积，且JⅡJd证明由题设厂(z)≥g()，贝0}_厂(z)dx≥Ig()dx厂(z)，g(z)rzPI厂(￡)dt≥Ig(￡)dt为变限积分。√“√“证明令F()一厂(z)一g()，则F(z)≥0，得即lF(z)dx≥0J'd厂c，d≥』：dzIfgcd由此可知即r6rJflbⅡf()dx一JfIbag()dx—一JrI“(厂()一g(

5、))dx—一√IndxJlnI-f(t)一g(f)]d￡≥0r6rlF(z)dx≥0左边一Idx}Ef(t)一g()]d一√nJ“所以有fEf(t)-g(t)]dzd(其中d一{(z，)I厂(z)dx≥Ig(z)dxa≤Iz≤b，a≤t≤37})===收稿日期：2013一l1一O8作者简介：黄云美(1981一)，女，江苏人，硕士，讲师，研究方向：基础数学。28杨凌职业技术学院学报第13卷rbrbr6r6IdtI[厂(f)一g(f)]dx一IP()厂(z)dxIP()g()dx√“JtJⅡJⅡ下证≥0r(6一t)Ey()一g()]出一rbrb∞I—

6、Ir(z)dzj’：(z)厂(z)g()dz—6[1_厂()dt—Ig(￡)dt]一[1f／()dt一√口J“√口lr6P(x)f(x)dxr}6P(x)g(x)dx—Itg(￡)d小J4√口rl6P(Lz)dxrl6P(y)f(y)g(y)dy一r6r6√n√Ⅱ一[Itf(t)dt—ltg(￡)dt]≥0Jnnr6r6IP(z)厂()dxIp()g()dy—则J口√口r6r6I}P(z)p()厂()g()dxdy—』btj()dt-㈩。Jn√Ⅱ即rIbrl6()_厂(z)()g()dxdy—Jd√口』b()d≤-f：xg(z)dzrbr6IIP

7、(z)()g()I-f(y)一，()]dxdy(1)命题得证1JⅡ√n同理1．2应用二：转化法(将累次积分转为重积分)命题二：若厂()在[，6]上可积，g()在[c，]一』(z)dz』户(z)，(z)g(-z)dz—上可积，则二元函数厂()g()在平面区域D一rbr6IP(z)厂(z)dxIP()g(z)dx—{(，)【n≤≤b，c≤Y≤d}上可积，且Jd√Ⅱrbr6()g(Yd一蒯ag(Y一I()dyI户(z)厂(z)g(z)dx—J＆√n√nrbr6b厂(z)ddIp()厂()dyI户()g(z)dx一g()d．z√√口rI6rIh()()g

8、(z)I-f(x)一-厂()]dxdy(2)其中D一{(z，)la≤z≤b，c≤≤d}](1)+(2)得例2设(z)，厂(z)，g()是