Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用

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1、Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用　　摘要:Cauchy-Schwarz不等式有多种证明方法而且应用广泛.本文归纳了几种Cauchy-Schwarz不等式的典型证明方法,并探讨了Cauchy-Schwarz不等式的应用.　　关键词:Cauchy-Schwarz不等式;向量空间;内积　　　　一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法　　1.第一种证明方法　　定理1对任意的向量α,β有

2、(α,β)

3、≤

4、α

5、

6、β

7、.当且仅当α,β线性相关时,等号才成立.　　证明当β=0时,不等式成立.设β≠0.令t是一个实变数,作向量γ=α+tβ.不论t取何值,一定有　　

8、(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.　　即　　(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0(1)　　取　　t=.　　代入(1)式,得　　(α,α)-≥0,　　即　　(α,β)2≤(α,α)(β,β).　　两边开方便得　　

9、(α,β)

10、≤

11、α

12、

13、β

14、.　　当α,β线性相关时,等号显然成立.反过来,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者β=0,或者　　α-β=0,　　也就是说α,β线性相关.　　2.第二种证明方法　　引理:设V是欧氏空间,ξ,η是V的单位向量,那么,　　

15、(ξ,η)

16、≤1.　　证明ξ,η既是单位向量,则有(ξ,ξ)=1,(η,η)=1,而

17、ξ,η

18、2

19、≥0,即　　

20、ξ,η

21、2=(ξ-η,ξ-η)　　=(ξ,ξ)+(η,η)-2(ξ,η)　　=2-2(ξ,η)≥0　　所以,(ξ,η)≤1;　　又

22、ξ,η

23、2≥0,即　　

24、ξ,η

25、2=(ξ+η,ξ+η)　　=(ξ,ξ)+(η,η)+2(ξ,η)　　=2-2(ξ,η)≥0　　所以,(ξ,η)≥-1.总之,

26、ξ,η

27、≤1.　　定理2设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,

28、(α,β)

29、≤

30、α

31、

32、β

33、,等号成立当且仅当α,β线性相关.　　证明10若α,β中有一个是零向量,则结论显然成立;　　20设α,β都不为零,今将α,β单位化,令ξ=,η=,则由引理.知

34、(ξ,η)

35、≤1,

36、而(α,β)=(

37、α

38、ξ,

39、β

40、η)=

41、α

42、

43、β

44、(ξ,η)所以,

45、(α,β)

46、≤

47、α

48、

49、β

50、(ξ,η)≤1.　　再设ξ与η的夹角为θ,则θ的余弦为cosθ==(ξ,η)由此可知,

51、(α,β)

52、≤

53、α

54、

55、β

56、(ξ,η)=1cosθ=±1≤1ξ=±η,此即知α与β线性相关.　　3.第三种证明方法　　定理3设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,

57、(α,β)

58、≤

59、α

60、

61、β

62、,等号成立当且仅当α,β线性相关.　　证明x1,x2∈R取,则(x1α+x2β,x1α+x2β)≥0,即　　(α,α)x12+2(α,β)x1x2+(β,β)x22≥0,　　而此式左端恰为关于x1,x2

63、的半正定二次型,故其矩阵的行列式≥0,即　　(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)≥0　　则得

64、(α,β)

65、≤

66、α

67、

68、β

69、,且等号成立　　(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)=0α,β线性相关.　　二、Cauchy-Schwarz不等式的应用　　Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式,下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式:设V是欧氏空间,若ξ,η∈V,则　　(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)(2)　　上式等号成立的充要条件是ξ,η线性相关.　　变形一:取V=Rn,令ξ=(a1,a2,…,an),η=(b1,b2,…,bn)则有　　(a1b

70、1+…+anbn)≤(a12+a22+…+an2)(b12+b12+…+bn2)(3)　　等号成立的充要条件bi=cai(i=1,2,…n),c是为常数.　　变形二:取V是定义在[a,b]上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f(x),g(x)∈V,则有　　[f(x)g(x)dx]2≤f2(x)dxg2(x)dx(4)　　变形三:取V为概率空间,对任意属于V的随机变量ξ与η都有　　

71、Eξη

72、2≤Eξ2Eη2(5)　　等号成立的充要条件是P(η=t0ξ)=1,t0是某一常数.　　例1若x1,x2,…,xn均为正数则有(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2(6)　　证明由

73、(2)式令a1=,a2=,…,an=.　　b1=,b2=,…,bn=,则有　　(•+•+…+•)2=n2.而　　(++…+)(++…+)　　=(x1+x2+…+xn)(++…+)　　所以(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.　　显然等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.　　例2已知a、b、c、x、y、z都是实数,并且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1　　求证:

74、ax+by+cz

75、≤1.　　证明由不等式(3)有　　(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)