不等式证明和应用

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1、不等式的证明和应用【知识结构】一、不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反

2、（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，④利用常用结论：Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度小）13（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简。（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；二、常用基本不等式（1）两个正数的均值不等式是：三个正数的均值不等式是：n个正数的均值不等式是：（2）两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是（3）.双向不等式是：左边在时取得等号，右边在时取得等号【例题精讲】例1若水杯中的

3、b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知解：由题意得证法一：（比较法），，证法二：（放缩法），证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，13AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD，例2已知a，b∈R，且a+b=1求证：证法一：（比较法）即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法）因为显然成立，所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假

4、设，则由a+b=1，得，于是有所以，这与矛盾所以证法五：（放缩法）∵13∴左边＝＝右边点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法）∵，所以可设，，∴左边＝＝右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故例3、命题“若且，则”是真命题还是假命题？并证明你的结论。解：这是真命题。分析法证明如下：由且，又，则，而。∵。13以上过程“”都成立，因而成立，即所给命题为真命题。例4、设、且，求的最小值

5、。解：，，则，等号成立，∴。又解：仿前解得：，令，则，。在上，递减，则。例5、设、、，求证：，，的值不能同时大于。证（反证法）若（三式相乘）；13，与上式矛盾。因而，，，的值不能同时大于。例6某电脑用户计划使用不超过450元的资金购买单价分别为60元，70元的单元软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少要买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有（）A．5种B6种C7种D8种解:设购买软件片,且,磁盘盘,且,则,即当=3时,=2,或=3;当=4时,=2,或=3;当=5时,=2综上述，共有5种不同的选购方式，故选A例7已知，求的范围分析：先利用解含绝对值的不等式的方法及积（商）的符号法则解不

6、等式求出A和B，再利用数轴表示出A和B，得到时应满足的条件，从而求出的范围解：13由：例8已知某种商品的定价上涨成（1成即为，成即为），其销售量便相应减少成，按规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率的取值范围(精确到01%)注:本小题考查建立函数关系式,解不等式的知识,数学应用意识,建模能力和解决问题的能力解：设原定价为元/件，原销售量为件，则原销售额为元，由已知得①①式恒成立，∴△<0，解得，故111%<<1,即税率的取值范围∈(111%,100%)13【拓展提高】例9．若，求实数的取值范

7、围。解：当时，原不等式…………（*）（ⅰ）当时，，则（*）；（ⅱ）当时，，则（*）；当时，原不等式；当时，原不等式。综合，，可得，。13例10．关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围。解一：原不等式组，记原不等式组的解集为，则。当时，，，不合题意；当时，，不合题意；当，即时，则或或，∴，又，，因而，。解二：原不等式组，记原不等式组的解集为，则，∴。13例11.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮