cauchy-schwarz不等式的推广及应用 数学分析学院毕业论文

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1、编号:本科毕业论文 Cauchy-Schwarz不等式的推广及应用院系：数学科学系姓名：XXXx学号：XXXXX专业：数学与应用数学年级：XXXXX指导老师：XX职称：XX完成日期：2012年3月27目录Cauchy-Schwarzisaverybasicandimportantinequalityinmathematics,anditiswidelyusedinmanybranchesofmathematics.2ThispapermainlyintroducestheCauchy-Schwar

2、zinequalitytwoperplexitys,applicationandpromotion.ThispaperfirstdisscussestheCauchy-Schwarzinequality'sdiscreteformandcontinuousformandtheirdifferentproofs.Andthen,wecontinuedebateourdiscussionofCauchy-Schwarzinequalitytheoremandapplicationsonthebasis

3、ofthetheorem.Finally,wegiveCauchy-Schwarzinequalityofthreeproveanditsintherealarea,ndEuropetypespace,probabilitytheoryandmatrixandapplication.2Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;determinant;nonnegativequadratic32Cauchy-Schwarz不等式的推广42.1Cauchy-Schwarz不等

4、式4定理2.1离散形式的Cauchy-Schwarz不等式.4若和是任意实数,则有4定理2.2连续形式的Cauchy-Schwarz不等式5注除有限点外,,有,但与并不成比例.62.2Cauchy-Schwarz不等式的推广63Cauchy-Schwarz不等式的应用113.1Cauchy-Schwarz不等式在n维欧式空间中的应用113.2Cauchy-Schwarz不等式在数论中的应用123.3Cauchy-Schwarz不等式在概率论中的应用14Cauchy-Schwarz不等式在实数域的形

5、式1515而在概率论中亦有一个类似的不等式1515这里,15现在建立一个概率模型，用概率论中的不等式去证明Cauchy-Schwarz不等式.15设有二维随机向量（），它的联合分布为1527151515151515151515那么，有随机变量的函数的数学期望公式可得：1515151527由于1516所以1616即1616定理5对于2个随机变量X、Y，若、存在,则有.16证明当时，，此时，故,不等式成立；16当时，16令16(恒成立)16于是1616即16163.4Cauchy-Schwarz不等式

6、在矩阵中的应用16定理6已知,则有16证明若,则有.故.16即此时不等式成立.16当时,16令1617（恒成立)17注意到1717于是172717所以变成即可1717最后由的任意性将上述不等式中换成即得1717定理7已知,是n阶正定矩阵,则有1717证明当时,必有.17此时两边都为零,成立.17当时17令1717(恒成立)17于是1717从而17183.5Cauchy-Schwarz在n重黎曼积分中的应用18定理8设是中的闭区域,在上黎曼可积,则有18证明当时,有两边都为0,成立.18当时,18令

7、18181827恒成立18于是1818得证18推论当时,即一元定积分中的18结束语19参考文献20致谢2127摘要Cauchy-Schwarz是数学中一个非常基本而且重要的不等式,在许多数学分支中被广泛使用.本文主要介绍Cauchy-Schwarz不等式两种形式、应用及其推广.本文首先讨论了Cauchy-Schwarz不等式离散形式和连续形式及其证法;然后,在这些定理的基础上,我们继续讨论Cauchy-Schwarz不等式定理的推论及其应用;最后,给出Cauchy-Schwarz不等式在n维欧式空

8、间、数论、概率论、矩阵和n维黎曼积分中的应用.关键词:Cauchy-Schwarz不等式;行列式;非负二次型AbscractCauchy-Schwarzisaverybasicandimportantinequalityinmathematics,anditiswidelyusedinmanybranchesofmathematics.ThispapermainlyintroducestheCauchy-Schwarzinequalitytwoperplexitys,applica