数学分析学院毕业论文Cauchy-Schwarz不等式的推广及应用

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1、编号:合肥工业大学本科毕业论文Cauchy-Schwarz不等式的推广及应用院系：数学科学系姓名:XXXx学号:XXXXX专业：数学与应用数学年级:XXXXX指导老师：XX职称：XX完成日期：2012年3月目录Cauchy-Schwarzisaverybasicandimportantinequalityinmathematics,anditiswidelyusedinmanybranchesofmathematics7ThispapermainlyintroducestheCauchy-Schwarzinequalit

2、ytwoperplexitys,applicationandpromotion・ThispaperfirstdisscussestheCauchy-Schwarzinequality'sdiscreteformandcontinuousformandtheirdifferentproofs.Andthen,wecontinuedebateourdiscussionofCauchy-Schwarzinequalitytheoremandapplicationsonthebasisofthetheorem・Finally,w

3、egiveCauchy-Schwarzinequalityofthreeproveanditsintherealarea,ndEuropetypespace,probabilitytheoryandmatrixandapplication7Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;determinant;nonnegativequadratic72Cauchy-Schwarz不等式白勺推广92.1Cauchy-Schwarz不等式9定理2.1离散形式的Cauchy-Schwarz不等式9若和％$

4、,•••,bn是任意实数，则有9定理2.2连续形式的Cauchy-Schwarz不等式10bb注除有限点外，/(X)=«?(%),XG[a.b],有f(x)dx=^g{x)dx，但f(x)与g(x)并不成比例aa102.2Cauchy-Schwarz不等式白勺推广113Cauchy-Schwarz不等式的应用163.1Cauchy-Schwarz不等式在n维欧式空间中的应用163.2Cauchy-Schwarz不等式在数论中的应用173.3Cauchy-Schwarz不等式在概率论中的应用19Cauchy-Schwarz

5、不等式在实数域的形式19(丈必)w(£&)(£厅)19/=0/=0/=0而在概率论屮亦有一个类似的不等式19

6、EO

7、2

8、EO

9、2

10、0n/=lni=/=!即20(£%)<(£/)•(£分)20X=1/=1/=1定理5对于2个随机变量X、Y,若E(X2).E(Y2)存在，则有[E(XY)]20时，21令21f(t)=E[(tX-Y)2]=t2E(X2)-ZtEXY+£(/2)>0(恒成立)21于是21A=4(EX/)2-4E(X2)E(r2)<021B

11、J21[£(%y)]2

12、3.4Cauchy-Schwarz不等式在矩阵中的应用21定理6已知M冈,(/?),贝I」有21证明若rr(A4f)=0,则有A=0.故AB=021即此时不等式成立21当tr(AA')>0时，21令21f(t)=tr[(tA-B)(tA-By]21=加心+"(砒)(恒成立)21>0_注意到21tr(ABl)=tr(BA)21于是21A=4tr(AB')-4/r(A41)<021所以B变成B即可2121最后由3的任意性将上述不等式中B1换成B即得22[tr(AB,)]2

13、w/T,A是n阶正定矩阵，则有(XMY)乜(XSX)(厂AY)22证明当X'AX=0吋，必有X=022此时两边都为零，成立22当X'AX>0时22令22f(t)=(tX+YyA(tX+Y)22=t2X,AX-i-t（X,AY+Y,AX）+Y,AY=t2X'AX+2tX'AY^-Y'AY（恒成立）22>0于是22A=4