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1、第31卷第3-4期辽宁科技大学学报V01.31No.3—42008年6月JournalofUniversityofScienceandTechnologyLiaoningJun.,2008对数正态分布参数的精确估计及其应用张志国1,曹洋2,孙平3(1.辽宁科技大学理学院,辽宁鞍山114051;2.鞍山技师学院,辽宁鞍山114001;3.东北大学理学院,辽宁沈阳110003)摘要:分析了两参数对数正态分布均值四种常见的估计方法,其中GunnarTaraldsen提出的修正极大似然估计优于其他三种估
2、计。在此基础上讨论了总体m阶原点矩和m阶中心矩以及峰度的修正极大似然估计,而且提出总体的中位数、众位数和偏度不存在修正的极大似然估计,并用Mathematica4.0对上海股票市场的大盘日成交量进行仿真分析,结果表明与理论推导完全一致。关键词:对数正态分布;修正极大似然估计;Mathematica4.0;大盘日成交量中图分类号:0212.1文献标识码:A文章编号:1674—1048(2008)(03—04)一0269—04两参数对数正态分布是常见的一种用来描述正的有偏数据的分布,被广泛地应用于经
3、济、医学、生物和材料等研究领域。Zhou介绍了对数正态分布均值三种常见的估计方法‘1I。Taraldsen提出均值的精确估计‘2I,并且表明此估计容易计算,估计的性质比其他三种估计优良。本文在此基础上进一步研究了对数正态分布参数的精确估计问题。1预备知识一假设随机变量Y>0服从两参数的对数正态分布,记做Y~LN(tl,仃2),Yl,.一,L是来自总体容量为咒的一个样本,4-x。=ln(y。),⋯,瓦=ln(L)。记V=丢剐Yi,又=咒1::,Xi,s2=i1_奎(x。一叉)2。1.1三种均值估计
4、Zhou总结了均值三种常见的估计方法⋯,即样本均值y;极大似然估计P=expx+i1了n-1s2)一致最小方差无偏估计y+=exp(又)F[Tn-1,‰≠s2]Gamma函数。样本均值和极大似然估计不够精确,其中:“口,6]=砉订斗毛,[盘],=型最丢户,r而一致最小方差无偏估计计算困难,因此这三种估计方法都不够优良。2.2修正极大似然估计y+Taraidsen提出均值的精确估计y+㈦,表达式为y+:exp『又+吾s2F。(s)]收稿日期:2008—03.27。作者简介:张志国(1981一),男
5、,黑龙江齐齐哈尔人。·270·辽宁科技大学学报第31卷其中:E(s)=a,[,z]+a2[咒Is+a3[咒]82+Ot4[孢]s4,a:[咒]=屈,+展:i1+&咒l_g+屈。嘉+屈,嘉,卢Taraldsen通过数量上的模拟表明,当样本容量很大时,Y+与Y‘近似相等,lIn(Y+)一In(Y+)l6、]_2exp(aX)k∑耋0{1鬻j1‘lk+兰苎—7、岩一[l(k1咒2‰。一川1)ss2⋯]6为参数exp(ap+幻2)的一致最小方差无偏估计,其中a,b已知。由近似关系(1)得到如下结论:推论1exp(a,u+幻2)的修正极大似然估计exp(aX)exp[1r2E(r)],其中,.2=等s2,钾≥2,o<√等罕s<3。由推论1可得,对数正态分布的m阶原点距u=exp(,叩+丢仃2m2)的修正极大似然估计V+m:exp(旅)exp『昙rzEr)]其中:r2=(mS)2,08、)盏(一1),既exp[Q学口2]的修正极大似然估计u二=冀(一1)JC乞exp(赧)eXp[丢,.2蹦r)]其中:r2=南[(m刊2+卜簪)]S2,o<√南[(m刊2+卜等)]s<3。另外,也得到对数正态分布的峰度K=长一3_eXp(4口2hxp(3a2)一3exp(2仃2⋯的修it!极大似然估计。由推论1分别令口=0,b=2,3,4可得。由推论1tg可得出如下结论:推论2总体的中位数、众数和偏度虽然也具有exp(ap+ba2)的形式,但是没有修正极大似然估计。证明总体的中位数为exp(p),9、由推论1得,一2=等竿s2=高1s2
6、]_2exp(aX)k∑耋0{1鬻j1‘lk+兰苎—
7、岩一[l(k1咒2‰。一川1)ss2⋯]6为参数exp(ap+幻2)的一致最小方差无偏估计,其中a,b已知。由近似关系(1)得到如下结论:推论1exp(a,u+幻2)的修正极大似然估计exp(aX)exp[1r2E(r)],其中,.2=等s2,钾≥2,o<√等罕s<3。由推论1可得,对数正态分布的m阶原点距u=exp(,叩+丢仃2m2)的修正极大似然估计V+m:exp(旅)exp『昙rzEr)]其中:r2=(mS)2,08、)盏(一1),既exp[Q学口2]的修正极大似然估计u二=冀(一1)JC乞exp(赧)eXp[丢,.2蹦r)]其中:r2=南[(m刊2+卜簪)]S2,o<√南[(m刊2+卜等)]s<3。另外,也得到对数正态分布的峰度K=长一3_eXp(4口2hxp(3a2)一3exp(2仃2⋯的修it!极大似然估计。由推论1分别令口=0,b=2,3,4可得。由推论1tg可得出如下结论:推论2总体的中位数、众数和偏度虽然也具有exp(ap+ba2)的形式,但是没有修正极大似然估计。证明总体的中位数为exp(p),9、由推论1得,一2=等竿s2=高1s2
8、)盏(一1),既exp[Q学口2]的修正极大似然估计u二=冀(一1)JC乞exp(赧)eXp[丢,.2蹦r)]其中:r2=南[(m刊2+卜簪)]S2,o<√南[(m刊2+卜等)]s<3。另外,也得到对数正态分布的峰度K=长一3_eXp(4口2hxp(3a2)一3exp(2仃2⋯的修it!极大似然估计。由推论1分别令口=0,b=2,3,4可得。由推论1tg可得出如下结论:推论2总体的中位数、众数和偏度虽然也具有exp(ap+ba2)的形式,但是没有修正极大似然估计。证明总体的中位数为exp(p),
9、由推论1得,一2=等竿s2=高1s2
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