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1、2007年第6期九江学院学报(总第143期)No,6,2007JournalofjiujiangUniversity(SumN0143)对数正态分布参数的最大似然估计于洋孙月静(东北财经大学数学与数量经济学院辽宁大连116025)摘要:利用最大似然估计法求出了对数正态分布两个参数的估计量,并讨论了它们的无偏性和相合性。关键词:对数正态分布;最大似然估计;无偏估计量;相合估计量中图分类号:O212文献标识码:A文章编号:1673-4580(2007)06-0055-(03)nnn1对数正态分布=(2πσ2)-2
2、-1exp-1r(lnx2,Πxi2i-μ)对数正态分布在经济学和金融学中有着重要i=12σi=1的应用。例如在金融市场的理论研究中,著名的xi>0(i=1,2,⋯,n),Black-Scholes期权定价公式,以及许多实证研究2n2两边取对数得lnL(μ,σ)=-ln(2πσ)-都用对数正态分布来描述金融资产的价格。在工2nn程、医学和生物学等领域里对数正态分布也有着lnΠx-1r(lnx-μ)2i2ii=12σi=1广泛的应用。它的定义如下:似然方程组为定义1如果随机变量X的函数1nX服从正态2n2),σ
3、229lnL(μ,σ)1分布N(μ,σ>0,则称X服从参数为μ和σ=2r(lnxi-μ)=09μσi=1的对数正态分布(lognormaldistribution),记作X2n29lnL(μ,σ)n12～LN(μ,σ)。2=-2+4r(lnxi-μ)=09σ2σ2σi=1对数正态分布的密度函数为:解得1(lnx-μ)2-e2σ2,x>01n1n1n22f(x)=2πσx(1)μ^=rlnxi,σ^=r(lnxi-rlnxi),ni=1ni=1ni=10,x≤02故μ与σ的最大似然估计量分别是文献[1]给出了服
4、从对数正态分布的随机变n1量X存在k(k为正整数)阶原点矩,并且μ^=rlnXi(4)ni=1k2σ2EXk=ekμ+21n1n22σ^=r(lnXi-rlnXi)(5)当k分别等于1和2时,有ni=1ni=1μ+σ2由(2)式、(3)式以及最大似然估计的不变EX=e2(2)[2]22μ+2σ2性,对数正态总体X的均值EX、方差DX以及σEX=e222μ+2σ22μ+σ2的最大似然估计量分别为从而DX=EX-(EX)=e-e=σ^22μ+σ2(eσ2EX=eμ^+2,DX=e2μ^+σ^2(eσ^2-1),e
5、-1)(3)22参数μ和σ的最大似然估计1n1n22σ^=r(lnXi-rlnXi)。设总体X服从参数为μ和σ的对数正态分布,ni=1ni=1X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的简单随机样本。根据在实际应用时,给定一组样本值,代入计算便2最大似然估计法的原理,由(1)式,可求出参数μ、σ及其函数EX、DX和σ的最大似n1(lnxi-μ)22-然估计值。似然函数为L(μ,σ)=Πe2σ2i=12πσxi例如样本值为0125,018,1,2,215,计算可得收稿日期:2007-03-01作者简介:于洋(1979-)
6、,男,东北财经大学数学与数量经济学院教师,理学硕士。·56·九江学院学报2007年第6期n11(6)μ^=rlnxi=×ln1=0,ni=15根据定理1有ES2=σ2,从而Ynnσ^2=1r(lnx-1rlnx)2=1×312916=2n-12n-122ni=1ini=1i5Eσ^=E(SY)=σ≠σnn016583,22故σ^是σ的有偏估计量。但是10+×016583EX=e2=113898,2n-122limEσ^=limσ=σ(7)nv∞nv∞n2016583DX=(113898)(e-1)=11799
7、2,因此σ^2是σ2的一个渐进无偏估计量。σ^=018114。虽然σ2的最大似然估计量是有偏的,但改进3无偏性和相合性后的估计量2前文给出了对数正态分布的两个参数μ与σn1n1n22σ^=r(lnXi-rlnXi)的最大似然估计量,接下来本文将讨论所得估计量n-1n-1i=1ni=12(见(4)式和(5)式)的优良性。这里只讨论它们的却是σ的一个无偏估计量。无偏性和相合性。定义3设«^=«^(X1,⋯,Xn)为未知参数«定义2设«^=«^(X1,⋯,Xn)为未知参数«的估计量,若«^依概率收敛于«,即对任意ε
8、>0,的估计量,若E«^=«,则称«^为«的无偏估计量,有limP{«^-«<ε}=1,则称«^是«的相合估nv∞否则称«^为«的有偏估计量。若limE«^=«,则称计量或一致估计量。nv∞«^为«的渐进无偏估计量。相合性是对估计量的一个基本要求。一个相合22定理1设总体X～N(μ,σ),σ>0,X1,估计量意味着,只要样本容量n足够大,就可以保X2,⋯Xn为来自总体X的简单随机样本,证估计误差达到
