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《8.2参数的最大似然估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.2最大似然估计其中θ是待估参数当一次抽样得观测值得此观测值的概率为:其分布为设X是取值为的概率与有关,与参数θ有关时,记为为待估参数θ的函数,称为似然函数.若在处达到最大值,则称为参数的最大似然估计值.相应的估计量称为θ的最大似然估计量.统称为θ的最大似然估计.离散型随机变量,其中θ是待估参数,设其密度函数为当是记为待估参数θ的函数,称为似然函数.它的大小反映了落在附近的概率的大小.若在处达到最大值,则称为参数的最大似然估计值.相应的估计量称为θ的最大似然估计量.统称为θ的最大似然估计.连续型随机变量时,由于是的最大值点,一般应满足条件:从而满足条件是离散型随机变量是连
2、续型随机变量离散型连续型求最大似然估计量1.写出似然函数X是离散型随机变量X是连续型随机变量当只有一个待估参数θ时，2.写出似然方程或3.求解似然方程得到驻点，并判断驻点是否为最大值点.的步骤:几种常见分布的最大似然估计量1.0—1分布设总体为待估参数.可统一表示为设一抽样得观测值为为似然函数.似然估计值,为的最大似然为的最大为似然函数.估计量.2.泊松分布设总体即λ为待估参数设样本观测值为为似然函数.为似然函数.为λ的最大似然估计值.为λ的最大似然估计量.3.指数分布设总体服从指数分布λ为待估参数.求参数λ的最大似然估计.设样本观测值为解可以认为为似然函数.为似然函数.为λ
3、的最大似然估计值.为λ的最大似然估计量.或两个以上未知参数时，似然函数为当有两个（离散型）或（连续型）或两个以上未知参数时，似然函数为若此似然函数在达到最大，则称为的最大似然估计值，称为θi的最大似然估计量.估计量相应的此时，一般应满足条件:或当有两个求最大似然1.写出似然函数X是离散型随机变量X是连续型随机变量当有两个或两个以上待估参数θ时，2.写出似然方程组3.求解似然方程组，得到驻点，并判断驻点是否为最大值点.估计量的步骤:4.正态分布设总体令μ和δ为待估参数,求参数μ和服从正态分布的最大似然估计.求参数μ和δ的最大似然估计.设样本观测值为解似然函数为：令求参数μ和δ的
4、最大似然估计.似然函数为为μ的最大似然估计值.似然函数为为μ的最大似然估计值.为δ的最大似然估计值.为μ的最大似然估计值.为δ的最大似然估计值.μ的最大似然估计量为δ的最大似然估计量为最大似然估计量不一定是无偏估计量令随机变量的矩1.原点矩则称对于自然数如果为随机变量的阶原点矩.设X是随机变量，存在，1阶原点矩就是当时,2阶原点矩是当时,2.中心矩称对于自然数如果为随机变量的阶中心矩.设X是随机变量，则存在，也存在.当时,2阶中心矩样本k阶原点矩样本k阶中心矩设总体X，是来自的一个样本.矩估计的基本思想是：用相应的样本矩去估计总体矩；用相应的样本矩的函数去估计总体矩的函数.例
5、已知总体X有密度函数其它其中θ是未知参数，是来自X的一个样本.求θ的矩估计量解总体一阶原点矩用样本一阶原点矩估计总体一阶原点矩，令解得是θ的矩估计量.例总体X的分布未知，但已知总体的期望方差都存在，与是两个未知参数，求与的矩估计量.解再用样本的一阶、二阶原点矩估计总体一阶、二阶原点矩：解得分别为与的矩估计量.例已知总体X服从区间上的均匀分布,是未知参数，求与的矩估计量.解因为有两个未知参数，故将总体的一阶、表示为未知参数的函数：二阶原点矩再用样本的一阶原点矩、二阶中心矩估计总体一阶原点矩、二阶中心矩：例已知总体X服从区间上的均匀分布,是未知参数，求与的矩估计量.解解得分别为与
6、的矩估计量.例已知总体X服从二项分布其中m已知,p未知，(1)求p的矩估计量；(2)求的矩估计量.解总体一阶原点矩用样本一阶原点矩估计总体一阶原点矩，令解得是p的矩估计量.是的矩估计量.§8.3区间估计点估计估计当一次抽样实现后,代入估计量后,用这个数值点估计没有反映这个估计值的估计值参数真值(未知)例如:使用起来区间估计未知参数θ.得到样本观测值得到一个具体的数值作为θ的估计值.误差范围,把握不大.是用一个统计量可以弥补点估计的这个缺陷.设总体的分布中为了估计θ,所谓区间估计,以它们为端点得到区间一旦抽样实现后,就得到一个具体的区间,是一个随机区间.对这个随机区间有两个要求
7、:要求θ有很大的可能即要求尽可能大.估计的精度要尽可能高,的长度尽可能小.如果重新抽样,有一个未知参数θ从总体中抽取样本就是构造两个统计量即就得到另一即被包含在这个区间内.区间,1.2.定义设θ是一个要估计的参数,若由样本满足则称区间是θ的称称为置信水平,统计量对给定的小正数确定的两个置信区间.分别为置信下限和置信上限.也称置信度或置信概率.当一次抽样实现后,得到样本观测值即可得到一个具体的区间，称为置信区间的一个实现，也称为置信区间.和求置信区间的步骤:1.明确问题,2.寻找待估参数的3.寻找一个待估
