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1、§5.2最大似然估计例作放回抽样,设一袋中装有从中随机取一球,令取到红球取到白球是总体.取球10次(每次一球)是取到红球的概率.第次取到红球第次取到白球现在要估计红、白两种球,是来自总体X的容量为10的样本.取到红球取到白球是总体，现在要估计作放回抽样,取球10次(每次一球)第次取到红球第次取到白球设已知10次摸球的结果得到样本值10次摸球得此样本值的概率为是取到红球的概率.10次摸球得到样本值的概率为最大似然估计的思想是:一次抽样有许多可能结果,如果某一结果就认为这一结果抽样中出现了,是所有可能结果中概率最大的一个.本例中,一次抽样后,一次抽样有个结果,........出现就
2、认为得到此结果的概率最大.即求即选择使最大,的最大值点在一次结果即求的最大值点10次摸球得到样本值的概率取作为的估计值.一次抽样后,出现结果的概率最大.此时,为待估参数的函数,称为似然函数.在处达到最大值,称为参数的最大似然估计值.为其中θ是待估参数.当一次抽样得观测值得此观测值的概率为:其分布率为设X是取值为的概率与有关,与参数θ有关时,记为为待估参数θ的函数,称为似然函数.若在处达到最大值,则称最大似然估计值,相应的估计量称为θ的最大似然估计量,统称为θ的最大似然估计.离散型随机变量,为θ的其中θ是待估参数,设其密度函数为当是记为待估参数θ的函数,称为似然函数.若在处达到最
3、大值,则称为参数的最大似然最大似然估计值,相应的估计量称为θ的最大似然估计量,统称为θ的估计.连续型随机变量时,由于是的最大值点,一般应满足条件:从而满足条件求最大似然估计量1.写出似然函数X是离散型随机变量X是连续型随机变量当只有一个待估参数θ时，2.写出似然方程3.求解似然方程得到驻点，并判断驻点是否为最大值点.的步骤:几种常见分布的最大似然估计量1.0—1分布设总体为待估参数.可统一表示为设一抽样得观测值为为似然函数.似然估计值,为的最大似然为的最大为似然函数.估计量.2.泊松分布设总体即λ为待估参数.设样本观测值为为似然函数.为似然函数.为λ的最大似然估计值.为λ的最大
4、似然估计量.3.指数分布设总体服从指数分布λ为待估参数.求参数λ的最大似然估计.设样本观测值为解可以认为为似然函数.为似然函数.为λ的最大似然估计值.为λ的最大似然估计量.例设总体的密度函数是其中参数求α的解设样本观测值为可以认为似然函数为：最大似然估计.似然函数为：似然函数为为α的最大似然估计值.为α的最大似然估计量.4.正态分布设总体令μ和δ为待估参数,求参数μ和服从正态分布的最大似然估计.求参数μ和δ的最大似然估计.设样本观测值为解似然函数为：令求参数μ和δ的最大似然估计.似然函数为为μ的最大似然估计值.似然函数为为μ的最大似然估计值.为δ的最大似然估计值.代入（2）式，
5、解得为μ的最大似然估计值.为δ的最大似然估计值.μ的最大似然估计量为δ的最大似然估计量为最大似然估计量不一定是无偏估计量令
