最大似然估计

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1、最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。“似然”是对likelihood的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。目录[隐藏]·1预备知识·2最大似然估计的原理o2.1注意·3例子o3.1离散分布，离散有限参数空间o3.2离散分布，连续参数空间o3.3连续分布，连续参数空间·4性质o4.1泛函不变性（Functionalinvariance）o4.2渐近

2、线行为o4.3偏差·5参见·6外部资源[编辑]预备知识下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义，如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。同时，还要求读者熟悉连续实函数的基本技巧，比如使用微分来求一个函数的极值（即极大值或极小值）。[编辑]最大似然估计的原理给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为fD，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样，通过利用fD，我们就能计算出其概率：但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。那么我们如何才能估计出θ呢？一个

3、自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,...,Xn，然后用这些采样数据来估计θ.一旦我们获得，我们就能从中找到一个关于θ的估计。最大似然估计会寻找关于θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义可能性:并且在θ的所有取值上，使这个函数最大化。这个使可能性最大的值即被称为θ的最大似然估计。[编辑]注意·这里的可能性是

4、指不变时，关于θ的一个函数。·最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。[编辑]例子[编辑]离散分布，离散有限参数空间考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为p，抛出一个反面的概率记为1−p（因此，这里的p即相当于上边的θ）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为p=1/3,p=1/2,p=2/3.这些

5、硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个可能性函数取以下三个值中的一个：我们可以看到当时，可能性函数取得最大值。这就是p的最大似然估计.[编辑]离散分布，连续参数空间现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于中的任何一个p，都有一个抛出正面概率为p的硬币对应，我们来求其可能性函数的最大值：其中.我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对p取微分，并使其为零。在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t=3,n=10；其最大似然估计值发生在其众数并在曲

6、线的最大值处。其解为p=0,p=1，以及p=49/80.使可能性最大的解显然是p=49/80（因为p=0和p=1这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为.这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的'成功'次数，用另一个字母n代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:对于任何成功次数为t，试验总数为n的伯努利试验。[编辑]连续分布，连续参数空间最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：其n个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分

7、布）为：或：}-,这个分布有两个参数：μ,σ2.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有θ=(μ,σ2).最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，

8、比如在这个例子中可以看到：}-这个方程的解是.这的确是这个函数的最大值，因为它是μ里头惟一的拐点并且二阶导数严格小于零。同理，我们对σ求导，并使其为零。}-这个方程