最大似然估计概述

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1、最大似然估计概述　　最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。　　“似然”是对likelihood的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。　　最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

2、最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一

3、百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持　　例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。由于被研究序列的共同祖先序列是未知的，概率的计算变得复杂；又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换，并且不是所有的位

4、点都是相互独立，概率计算的复杂度进一步加大。尽管如此，还是能用客观标准来计算每个位点的概率，计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。然后，根据定义，概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。最大似然估计的原理　　给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为fD，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样，通过利用fD，我们就能计算出其概率：　　但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。那么我们如何才能估计出θ呢？一个自然的想法

5、是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,...,Xn，然后用这些采样数据来估计θ.　　一旦我们获得，我们就能从中找到一个关于θ的估计。最大似然估计会寻找关于θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。　　要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义可能性:　　并且在θ的所有取值上，使这个[[函数最大化。这个使可能性最大的值即被称为θ的最大似然估

6、计。注意这里的可能性是指不变时，关于θ的一个函数。最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。最大似然估计的例子离散分布，离散有限参数空间　　考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为p，抛出一个反面的概率记为1−p（因此，这里的p即相当于上边的θ）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概

7、率分别为p=1/3,p=1/2,p=2/3.这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个可能性函数取以下三个值中的一个：　　我们可以看到当时，可能性函数取得最大值。这就是p的最大似然估计.离散分布，连续参数空间　　现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于中的任何一个p，都有一个抛出正面概率为p的硬币对应，我们来求其可能性函数的最大值：　　其中.我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对p取微分，并使其为零。　　在不同比例参数

8、值下一个二项式过程的可能性曲线t=3,n=10；其最大似然估计值发生在其众数(数学)并在曲线的最大值处。　　其解为p=0,p=1，以及p=49/80.使可能性最大的解显然是p=49/80（因为p=0和p=1这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为..　　这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据