多元正态分布参数估计

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1、一、多元正态分布参数估计1.样本多元分析的任务∶根据样本数据来分析各变量之间的关系，推断总体的性质。多元样本数据为一元样本2.样本平均值样本平均值是n个点的重心例题：计算均值、离差阵、协方差和相关阵3.样本离差(平方乘积和)矩阵S计算离差阵(样本协方差)(样本方差)4.样本协差阵6.样本相关矩阵RR为非负定矩阵----样本相关系数变量的线性组合的样本值计算和均值方差与协方差7.二组样本的协方差矩阵8.总体均值和协方差矩阵的最大似然估计设用最大似然法求出的均值和协方差的估计量分别为9.基本性质1）是

2、总体均值的无偏估计2）是总体协方差的无偏估计分别是总体均值和协差阵的有效估计是总体均值和协差阵的一致估计估计3）4）和和和10.定理设和S分别是正态总体样本均值和离差阵，则和S相互独立1）2）3）二、多元统计中常用的分布在一元统计中，常用的分布有卡方分布、t分布和F分布。在多元统计中，他们分别发展为Wishart分布、T2分布和Wilks分布。11分布和Wishart分布定义1设为相互独立且同服从于分布的随机变量。则(1)所服从的分布叫做分布，称为自由度且记为。定理2.由(1)式定义的随机变量的分

3、布密度函数为定理3.设，且与相互独立，则推论2设是抽自正态总体的简单随机样本，则统计量Wishart分布它是多元样本离差平方和矩阵的分布定义1设为相互独立且同服从于分布，令则(1)所服从的分布叫做自由度为的p维维希特分布，记作显然，当p=1时，有Wishart分布像卡方分布一样具有加法性质，若相互独立，则设，且与相互独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记为。将T平方，即三分布与分布在多元统计中分布是一元统计中t分布的推广定义：若，S与X相互独立、称随机变量是自由度为（p，n）的分布可以转化为F分

4、布Hotelling四、分布与Wilks分布定义3设，，且与相互独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记为。F—分布事实上为从正态总体随机抽取的两个样本方差的比，在方差分析和回归分析中广泛使用描述的变异程度的统计参数称为广义方差，其定义有很多如F—统计量的推广是统计量定义：若相互独立，则称随机变量的分布是自由度为(p,n1,n2)的分布第三章假设检验1、Σ已知时单总体均值向量的检验设从总体X～NP(μ,Σ)中随机抽取了一个容量为n的样本，得到的无偏估计为检验是否等于已知向量。即，由于由正态分布与卡

5、方分布的关系得构造检验统计量为具体步骤是：①作统计假设②计算样本的均值③计算统计量T的具体值T0④按规定的小概率标准α，查卡方分布表Ta，得临界值，并作出判断当T0≤Ta，接受H0，拒绝H1，即认为与没有显著差异。当T0＞Ta，接受H1，拒绝H0，即认为与有显著差异。2、Σ未知时均值向量的检验在一元统计理论中，当方差未知时，取检验统计量为推广到多元，考虑统计量其中样本均值样本离差阵故由T2分布定义知其中利用T2与F分布的关系，检验统计量取为具体步骤是：①作统计假设：，②计算样本均值和样本协方差③由

6、公式计算F统计量具体值F0。④按规定的显著水平α，查F分布临界值，并作出判断：当接受H0，拒绝H1；当拒绝H0，接受H1。例1某小麦良种的四个主要经济性状的理论值为现在从外地引入一新品种，在21个小区种值，取得数据如表：小区号性状1234567X122.8822.7422.6022.9322.7422.5322.67X232.8132.5632.7632.9532.7432.5332.58X351.5151.4951.5051.1751.4551.3651.44X461.5361.3961.2

7、260.9161.5661.2261.30小区号性状891011121314X122.7422.6222.6722.8222.6722.8122.67X232.6732.5732.6732.8032.6732.6732.67X351.4451.2351.6451.3251.2151.4351.43X460.3061.3961.5060.9761.4961.1561.15小区号性状15161718192021X122.8123.0223.0223.1522.8823.1623.13X233.0233

8、.0532.9533.1533.0632.7832.95X351.7051.4851.5551.5851.4551.4831.38X461.4961.4461.6261.6561.5461.4161.58设新品种的四个性状服从正态，试检验假设3．查F表，得F0.05(4,17)=2.96，因为故拒绝H。3、两总体协差阵相等（但Σ未知）时均值向量的检验当P=1时，因且相互独立，在H0成立条件下，有，推广到P元总体，可以得到形式类似的统计量T2：X～NP(μ1,Σ)Y～NP(μ2,Σ)