资源描述：
《第二章_多元正态分布的参数估计.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章多元正态分布§2.1多元正态分布的定义§2.2多元正态分布的性质§2.3复相关系数和偏相关系数§2.4极大似然估计及估计量的性质§2.5和(n−1)S的抽样分布§2.1多元正态分布的定义一元正态分布N(μ,σ2)的概率密度函数为：若随机向量的概率密度函数为则称X服从p元正态分布，记作X~Np(μ,Σ)，其中，参数μ和Σ分别为X的均值和协差阵。例1（二元正态分布）设X~N2(μ,Σ)，这里易见，ρ是X1和X2的相关系数。当
2、ρ
3、<1时，可得X的概率密度函数为：二元正态分布的密度曲面图下图是当时二元正态分布的钟形密度曲
4、面图。二元正态分布等高线等高（椭圆）线：上述等高线上的密度值二元正态分布的密度等高线族 （由10000个二维随机数生成）
5、ρ
6、越大，长轴越长，短轴越短，即椭圆越扁平；
7、ρ
8、越小，长轴越短，短轴越长，即椭圆越圆；
9、ρ
10、=1时椭圆退化为一条线段；
11、ρ
12、=0时即为圆。§2.2多元正态分布的性质（1）多元正态分布的特征函数是：（2）设X是一个p维随机向量，则X服从多元正态分布，当且仅当它的任何线性函数均服从一元正态分布。性质（2）常可用来证明随机向量服从多元正态分布。（3）设X~Np(μ,Σ)，Y=CX+b其中C为r×p常数矩阵
13、，则该性质表明，（多元）正态变量的任何线性变换仍为（多元）正态变量。（4）设X~Np(μ,Σ)，则X的任何子向量也服从（多元）正态分布，其均值为μ的相应子向量，协方差矩阵为Σ的相应子矩阵。该性质说明了多元正态分布的任何边缘分布仍为（多元）正态分布。需注意，随机向量的任何边缘分布皆为（多元）正态分布未必表明该随机向量就服从多元正态分布。§2.2多元正态分布的性质正态变量的线性组合未必就是正态变量。证明:反证法。若命题“一元正态变量X1,X2,⋯,Xn的一切线性组合一定是一元正态变量”成立，则由性质（2）知，X1,X2,⋯,
14、Xn的联合分布必为多元正态分布，于是命题“一元正态变量的联合分布必为多元正态分布”成立，从而矛盾。§2.2多元正态分布的性质则（i）；（ii）；（iii）。例3设X~N4(μ,Σ)，这里§2.2多元正态分布的性质（5）设X1,X2,⋯,Xn相互独立，且Xi~Np(μi,Σi)，i=1,2,⋯,n，则对任意n个常数，有此性质表明，独立的多元正态变量（维数相同）的任意线性组合仍为多元正态变量。（6）设X~Np(μ,Σ)，对X,μ,Σ(>0)作如下的剖分：则子向量X1和X2相互独立，当且仅当Σ12=0。该性质指出，对于多元正态
15、变量而言，其子向量之间互不相关和相互独立是等价的。（7）设X~Np(μ,Σ),Σ>0，则例4设X~N3(μ,Σ)，其中则X2和X3不独立，X1和(X2,X3)独立。（8）设X~Np(μ,Σ),Σ>0，作如下剖分则给定X2时X1的条件分布为，其中μ1·2和Σ11·2分别是条件数学期望和条件协方差矩阵，Σ11·2通常称为偏协方差矩阵。这一性质表明，对于多元正态变量，其子向量的条件分布仍是（多元）正态的。例5设X~N3(μ,Σ)，其中试求给定X1+2X3时的条件分布。§2.3复相关系数和偏相关系数一、复相关系数二、偏相关系数一
16、、复相关系数相关系数度量了一个随机变量x1与另一个随机变量x2之间线性关系的强弱。复相关系数度量了一个随机变量X1与一组随机变量X2,⋯,Xp之间线性关系的强弱。将X,Σ(>0)剖分如下：X1和X2的线性函数间的最大相关系数称为X1和X2间的复(或多重)相关系数(multiplecorrelationcoefficient)，记作ρ1∙2,⋯,p,它度量了一个变量X1与一组变量X2,⋯,Xp间的相关程度。可推导出例4随机变量X1,⋯,Xp的任一线性函数F=l1X1+⋯+lpXp与X1,⋯,Xp的复相关系数为1。证明:二、
17、偏相关系数将X,Σ(>0)剖分如下：称为给定X2时X1的偏协方差矩阵。记，称为偏协方差，它是剔除了的（线性）影响之后，Xi和Xj之间的协方差。给定X2时Xi和Xj的偏相关系数（partialcorrelationcoefficient）定义为:其中。ρij∙k+1,⋯,p度量了剔除Xk+1,⋯,Xp的（线性）影响之后，Xi和Xj间相关关系的强弱。对于多元正态变量X，由于Σ11∙2也是条件协方差矩阵，故此时偏相关系数与条件相关系数是同一个值，从而ρij∙k+1,⋯,p同时也度量了在Xk+1,⋯,Xp值给定的条件下Xi和Xj
18、间相关关系的强弱。§2.4极大似然估计及估计量的性质一、样本X1,X2,⋯,Xn的联合概率密度二、μ和Σ的极大似然估计三、相关系数的极大似然估计四、估计量的性质设X~Np(μ,Σ),Σ>0，X1,X2,⋯,Xn是从总体X中抽取的一个简单随机样本（今后简称为样本），即满足：X1,X2,⋯,Xn独立，且与总体分布相同。令
