基于数据分组与右删失情形下对数正态分布的参数估计

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1、应用概率统计第二十四卷ChineseJournalofAppliedProbability第四期2008年8月andStatisticsVol.24No.4Aug.2008基于数据分组与右删失情形下对数正态分布的参数估计¤刘欣陈惠费鹤良(上海师范大学数理信息学院,上海,200234)摘要本文研究了对数正态分布数据在分组与删失情形下参数的估计问题.一是给出未知参数的极大似然估计存在且唯一的充要条件.二是利用EM算法对参数值进行了估计.关键词:对数正态分布,分组右删失,极大似然估计,EM算法.学科分类号:O213.2.x1.引言对数正态分布是可靠性和寿命试验中广泛应用的模

2、型之一,已有很多著作讨论了对数正态分布在完全样本、Type-I和Type-II截尾样本下的参数估计,可见Laweless(1983),Bain和Engelhardt(1991)等.对于对数正态分布在分组数据下的MLE,王静(2003)给出了MLE存在且唯一的充要条件,以及证明了MLE具有相合性与收敛速度服从重对数律.现在我们讨论比分组数据更为一般的情况,就是在每个分组的右端再去掉一些未失效的产品,这就使数据成了分组与右删失的情形.对于数据分组和右删失情形下Weibull分布参数的MLE已有了一定的研究.Liu(2001)讨论了Weibull分布极大似然估计存在且唯一的

3、充要条件.本文我们讨论对数正态分布在分组与右删失情形下未知参数的MLE存在且唯一的充要条件,并且用EM算法给出了参数的估计值.设某产品的寿命服从对数正态分布,其分布函数为Zxh2i1(lnt¡¹)F(x;¹;¾)=pexp¡dt;x>0:(1.1)2¼¾t2¾20这里¹;¾都未知且¾>0,¹2(¡1;+1).现取n个产品进行寿命试验,获得数据如下:将[0;+1),分成N+1个区间,前N个区间记作[Ti¡1;Ti),其中i=1;¢¢¢;N,0=T0

4、们有(di+¸i)=n.i=1¤国家自然科学基金(10571057,10671129)和教育部高校博士点专项科研基金项目(20060270002).本文2005年4月29日收到,2005年10月13日收到修改稿.372应用概率统计第二十四卷似然函数为L(¹;¾;d;¸)QN³ZTi1h(lnt¡¹)2i´di³ZTi1h(lnt¡¹)2i´¸i=pexp¡dt1¡pexp¡dt;i=1T2¼¾t2¾202¼¾t2¾2i¡1其中d=(d1;d2;¢¢¢;dN),¸=(¸1;¸2;¢¢¢;¸N).作变换x=(lnt¡¹)=¾,令®=1=¾,¯=¹=¾,则L(¹;¾)=l(

5、®;¯),QNh³Z®lnTi¡¯´d³Z®lnTi¡¯´¸iiil(®;¯)=g(x)dx1¡g(x)dx:(1.2)i=1®lnTi¡1¡¯0对数似然函数为PNhZ®lnTi¡¯³Z®lnTi¡¯´ih(®;¯)=lnl(®;¯)=dilng(x)dx+¸iln1¡g(x)dx;(1.3)i=1®lnTi¡1¡¯0p其中g(x)=(1=2¼)¢expf¡x2=2g.这样我们将求L(¹;¾)的最大值点存在且唯一的充要条件转化为了求h(®;¯)的最大值点存在且唯一的充要条件,两者是一致的.x2.MLE存在且唯一的充要条件如果在整个寿命试验过程中没有一个产品失效,那么未

6、知参数(¹;¾)的MLE是不存在的.所以我们假设至少有一个产品失效.类似于文献[4]的方法可将数据的所有情形分成9种情况讨论:情形1:d1>0,d2=¢¢¢=dN=0,d1+¸10,d2=¢¢¢=dN=0,d1+¸1=n.情形3:d1>0,d2>0,d3=¢¢¢=dN=¸2=¢¢¢=¸N=0.情形4:d1>0,d2>0,d3=¢¢¢=dN=0,并且存在一个整数j>2,使得¸j>0.情形5:d1>0,并且存在一个整数j>2,使得dj>0.情形6:d1=¢¢¢=dN¡1=0,dN>0.情形7:d1=0,存在整数i1;i2,(1

7、i1>0,¸i2>0.情形8:d1=0,存在整数i1;i2,(10,di2>0,但是¸i1+1=¢¢¢=¸N=0.情形9:d1=0存在整数i1,(10,di1+1>0,而且di1+2=¢¢¢=dN=¸i1+1=¢¢¢=¸N=0.第四期刘欣陈惠费鹤良:基于数据分组与右删失情形下对数正态分布的参数估计3732.1若干引理的介绍Zvp引理2.1[5]设g(x)=(1=2¼)¢expf¡x2=2g,G,G(u;v)=g(x)dx,(¡1