删失数据下的变系数模型的回归分析

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1、湖南师范大学硕士学位论文删失数据下的变系数模型的回归分析姓名：王吉祥申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：刘万荣20080501摘要非参数回归作为现代统计分析的主要方法之一，它对模型的假设很少，其最主要的优点就是模型具有稳健陛，因此得到广泛的应用．非参数回归方法本质上是局部估计，当回归变量x为一维变量时，非参数回归函数用这些方法一般都能得到很好的估计．但当回归变量是多维时，由于x的局部邻域包含很少的数据，用这些估计方法，很难估计出一般的多元非参数回归函数，人们把这种现象成为‘维数祸根’(thecurseofdimension)．可是实际中我们经常遇到的是高维数据，

2、因此，高维数据分析是统计学家一直关心的问题．而变系数模型(Varying-coefficientModels)是解决‘维数祸根’问题的一个有效方法．本文考虑变系数模型pY=芝二％(u)％+s=，(u)x+￡，(掌)5=1o(·)=(al(·)，⋯，np(·))Tnz(u)，⋯，唧(t‘)是未知的需要估计的光滑函数，y是实值变量，x=(溉，⋯，K)r是随机向量，U是随机变量，其密度函数为，(Ⅱ)，s是一随机误差，且E(eI以x)=0，Yar(￡l阢x)=cr2(阢x)．然而在现实问题中，如可靠寿命实验、医药追踪及生存分析等领域的研究中y常常因为删失而不能被直接观测到．设c表示截

3、断随机变量，y与c在给定u和x条件下是独立随机变量，记T=rain(Y,c)，正=砸n‰，c‘)，也=，(玑≤ci)(i=1，2，⋯，n)，其中H)表示某事件的示性函数，当没有出现删失时6=1，当出现删失时6=0．我们只能观测到{(阢，X，正，盈)；i=1，⋯，礼)．由于响应变量存在删失，不能直接运用完全数据下的统计方法，因此需要对删失数据进行变换．本文对删失数据采用的变换方法是Class-K方法即把数据点(配x，Z6)T变换成(配x，Y+)其中Y’=砸l(仉X，T)+(1一J)≯2(配X，T)妒1(⋯)和九(⋯)为变换函数，且EW‘I配X)=m(YlU,X)本文主要采用局部

4、多项式回归这一非参数方法及Class-K方法对模型(幸)在数据删失情况下进行回归分析．对模型(水)的系数函数光滑程度相同和不同时的情况分别进行详细讨论：(一)当系数函数光滑程度相同时，用局部线性函数对其进行估计，并证明了其渐近偏差、渐近方差和渐近正态性．(二)当系数函数光滑程度不相同时，一般的估计方法就不能达到最优收敛速度，于是就对光滑程度较高的系数函数用局部m次多项式进行估计，而对其它光滑程度较低的用局部线性函数对其进行估计．并证明了收敛速度、渐近偏差和渐近方差．关键词：变系数模型，删失，局部多项式回归，Cla．ss-K方法，最优收敛速度，渐近偏差，渐近方差，渐近正态性．I

5、IABSTRACTthenonparametricregressionanalysisisoneoftheleadingmethodsoftherood-ernstatisticalanalysis，Itneel：Isfewhypothesesanditsmainadvantageistobeveryrobust．Soitiswidelyapplied．Theessenceofthenonparametricregressionanalysismethodsislocalestimatororlocalsmoothingtechnique。Ingeneral，thenon-p

6、arametricregressionfunctioniswellestimatedbythenonparametricregressionanalysismethodswhenthevariableXisonedimension．Butthemultivariablenon-parametricregressioncouldnotbewellestimatedbythelocalestimatorsbecausethereisonlyalittledatainthelocalfieldsofthehighdimensionregressionvariableX．Thisph

7、enomenonissaidtobe‘thecurseofdimension’．Duetoalotofthehighdimensiondataisoftenhappened，theanalysisofhighdimensiondataisoneoftheaspectsinwhichalotofstatisticiansareinterested．However，varying-coefficientmodelsisaeffectivemethodtosolvetheproblemof‘thecurseo