基于分组数据的对数正态分布的参数估计

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1、基于分组数据的对数正态分布的参数估计摘要本文介绍了一种对基于分组数据的对数正态分布进行参数估计的方法。所得估计具有良好的收敛性，同时模拟结果也表明该方法的可行性。关键词分组数据；对数正态分布；参数估计—、冋题的提出经典统计分析中，总假设随机样本的观测值为一个确定的数值；然而在实际应用屮，观测到的经常是分组数据。例如，在生存分析的研究中，就时常出现这种情况。记0=%v7；<・・・<：

2、<7；=oo,®为落在区间［Tjjj）中的样本数,其中户1,2,…，化假设样木来自于某个包含未知参数的分布，所要解决的问题就是估计分布中的未知参数。但是对于大多数的分

3、布族而言，要解决这类问题都是比较困难的。近年來，对于区间数据的分析研究有很大的发展，一些针对区间数据的参数估计方法也应运而生“旳。这些研究为进行分组数据的参数估计提供了更多的方法和思路。样木为威布尔分布时，这类问题已经得到解决⑹。木文将讨论当样木来自对数正态分布时，这类问题该如何解决。二、参数最大似然估计及其算法记/（心1,2,…曲）为独立同分布随机变量,其密度函数为exp

4、-X,6?,(7>0它们分别落入区间1^,7；.）,只能观测到落在该区间中的随机变量£的数目勺，其中,J=1,2,…，k,0=7；｝<7；<...<

5、题是估计参数er,。。取U严WXj,T；=WTj；则Ui（z=l,2,...,/?）仍为独立同分布随机变量，其密度函数为^eXP，_(u-a)22cr2它们分别落入区间叮卫）,而®贝I」为落在区间也；）中的随机变量4的数目。不难看出｛S,21,2,…“｝包含了与｛X,,心相同的信息，在下面的推导过程中,将利用S进行讨论。Pi=PWGEE)=I]讨[—罟-脚可得似然函数则易得L=t[Pjj=llogL=t，:ylog^-J=exp[-^-]JMTj81ogLd(Tk=EnjJ=13log厶dakj=二rexp[（：?问(u—a)~.分别令警Jo,

6、警Jo。deda得:k;=10u—Clr(u—=j"，品exp[-”性o阳市exp-方厂问(1)J=l1r(u—ay1jpexp[-〒如.£^feexp[_(V)]du，(u_a)・(u—ay.』运现[-亏厂側>=0不难看出，以上两式无法得到参数60的明确表达式。这也是在处理这类问题时经常遇到的困难。为克服这一困难，用EM算法得出参数的估计。RM算法是一种迭代方法，最初由Dempster等提出，并主要用来求后验分布的众数（即最大似然估计），它的每次迭代由两步组成：E步（求期望）和M步（极大化）。记&为未知参数。一般以p{0Y）表示0的基于观测数

7、据卩的后验分布密度函数，称为观测后验分布，p（&

8、Y,Z）表示添加数据Z后得到的关于H的后验分布密度函数，称为添加后验分布。"（ZI&Y）表示在给定&和观测数据厂卜-潜在数据Z的条件分布密度函数。木文的目的是计算观测后验分布“（&IY）的众数。于是，EM算法如下进行。记/为第卄1次迭代开始吋后验众数的估计值，则第汁1次迭代的两步为：E步将°（&

9、Y,Z）或log0（0

10、Y,Z）关于Z的条件分布求期望，从而把Z积掉，即込[10g#（&

11、Y,Z）

12、”y]=J10gp（&

13、Y,Z）/7（Z

14、&',y）dZM步将Q（0Y）极大化，即找一个点使Q（严

15、=如此形成了一次迭代&T护'o将上述E步和M步进行迭代直至II广-&II或IIQ（0MY）-Q（ffY]II充分小时停止。三、利用EM算法得出对参数的估计为了便于表述，记随机变量X,全体为X,其总数为川，观测结果为文、X畀为落入区间厲十片）的随机变量，后1,2,…，耳。记随机变量S全体为〃，其总数为幷，观测结果为匕细为落入区间的随机变量，/F1,2,…，山。E步：注意到这样一个事实，〃实际上已经包含了F所有的信息。所以有kni(ujh-a)2eXPh^^由随机变量S的密度函数可得knjlog/?(GQ

16、t/miogy=l^=1aua

17、(iY)=E[log11/)

18、a(ia{iY]=-Nlog((ryfljr)-njE[(ujh-a)2

19、的条件密度:(i⑴)2f(uJh=11a(i)Q⑴,Y)二:茫(J⑴迈^Tj_exP[-2严〕仃））2「USexP[-卅）2〕严[-亏i为了便于表述,将/（切=/

20、Q⑴,Y）记为PJ（t）o则有(,Y)=-Nlog©厉)-洛£勺E[(细-a)'IQ⑴Q⑴，门=-NlogQ厉)-占£订;:drPj(MJIM步：将Q(a,aa(ia(iY)分别对6°求导，以求出使Q(a,aa(ia(iY)极大化的点(a(/+1>(/+1))。首

21、先对a求导:(t-a)PJ(t)dt(t-a)2Pt)dt令学=0可得。关于/)、(7⑴的表达式:da(3)再对b求导:O令学=0可得