绝对值型不等式和三角不等式类型.doc

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1、绝对值型不等式和三角不等式定理1如果a,b是实数，则

2、a+b

3、≤

4、a

5、+

6、b

7、（当且仅当ab≥0时，等号成立）。绝对值三角不等式(a,b为实数)定理2如果a,b,c是实数，那么

8、a-c

9、≤

10、a-b

11、+

12、b-c

13、（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。证明：根据绝对值三角不等式有

14、a-c

15、=

16、(a-b)+(b-c)

17、≤

18、a-b

19、+

20、b-c

21、（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。题型一　解绝对值不等式【例1】设函数f(x)＝

22、x－1

23、＋

24、x－2

25、.(1)解不等式f(x)＞3；(2

26、)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f(x)＝所以f(x)min＝1.因为f(x)＞a恒成立，所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f(x)＝.(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知

27、x＋1

28、＋

29、x－2

30、－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝

31、x＋1

32、＋

33、x－2

34、和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x∈R

35、时，恒有

36、x＋1

37、＋

38、x－2

39、＋a≥0，即

40、x＋1

41、＋

42、x－2

43、≥－a，又由(1)知

44、x＋1

45、＋

46、x－2

47、≥3，所以－a≤3，即a≥－3.题型二绝对值三角不等式的应用[例2]　(1)求函数y＝

48、x－3

49、－

50、x＋1

51、的最大值和最小值．(2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．若

52、a

53、≤1，求

54、f(x)

55、的最大值．[思路点拨]　利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解]　(1)法一：

56、

57、x－3

58、－

59、x＋1

60、

61、≤

62、(x－3)－(x＋1)

63、＝4，∴－4≤

64、x－3

65、－

66、x＋1

67、≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.法二：把函数看作分

68、段函数．y＝

69、x－3

70、－

71、x＋1

72、＝∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)

73、x

74、≤1，

75、a

76、≤1，∴

77、f(x)

78、＝

79、a(x2－1)＋x

80、≤

81、a(x2－1)

82、＋

83、x

84、＝

85、a

86、

87、x2－1

88、＋

89、x

90、≤

91、x2－1

92、＋

93、x

94、＝1－

95、x2

96、＋

97、x

98、＝－

99、x

100、2＋

101、x

102、＋1＝－(

103、x

104、－)2＋≤.∴

105、x

106、＝时，

107、f(x)

108、取得最大值.规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且

109、a

110、≤3，

111、b

112、≤2则

113、a＋b

114、的最大值是_

115、_______，最小值是________．解析：

116、a

117、－

118、b

119、≤

120、a＋b

121、≤

122、a

123、＋

124、b

125、，∴1＝3－2≤

126、a＋b

127、≤3＋2＝5.答案：5　14．求函数f(x)＝

128、x－1

129、＋

130、x＋1

131、的最小值．解：∵

132、x－1

133、＋

134、x＋1

135、＝

136、1－x

137、＋

138、x＋1

139、≥

140、1－x＋x＋1

141、＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝

142、x－1

143、＋

144、x＋1

145、取得最小值2.5．若对任意实数，不等式

146、x＋1

147、－

148、x－2

149、>a恒成立，求a的取值范围．解：a<

150、x＋1

151、－

152、x－2

153、对任意实数恒成立，∴a<[

154、x＋1

155、－

156、x－2

157、]

158、min.∵

159、

160、x＋1

161、－

162、x－2

163、

164、≤

165、(x＋1)－(x－2)

166、＝3，∴－3≤

167、x＋1

168、－

169、x－2

170、≤3.∴[

171、x＋1

172、－

173、x－2

174、]min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．题型三　解绝对值三角不等式【例2】已知函数f(x)＝

175、x－1

176、＋

177、x－2

178、，若不等式

179、a＋b

180、＋

181、a－b

182、≥

183、a

184、f(x)对a≠0，a、b∈R恒成立，求实数x的范围.【解析】由

185、a＋b

186、＋

187、a－b

188、≥

189、a

190、f(x)且a≠0得≥f(x).又因为≥＝2，则有2≥f(x).解不等式

191、x－1

192、＋

193、x－2

194、≤2得≤x≤.【变式训练2】(2010深圳)若不等式

195、x＋1

196、＋

197、

198、x－3

199、≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　.【解析】(－∞，0)∪{2}.题型四　利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f(x)＝

200、x－1

201、＋

202、x－a

203、.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围.【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝

204、x－1

205、＋

206、x＋1

207、.由f(x)≥3得

208、x－1

209、＋

210、x＋1

211、≥3，综上得f(x)≥3的解集为(－∞，－]∪[，＋∞).(2)综上可知a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x的不等式

212、x－(a＋1

213、)2

214、≤(a－1)2与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0(a∈R)的解集分别为A，B.求使A⊆B的a的取值范围.【解