集值映射ε-严有效点集的次微分及应用-论文.pdf

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1、数学杂志Vo1．34(2014)NO．4J．ofMath．(PRC)集值映射￡．严有效点集的次微分及应用余丽(宜春学院数学与计算机科学学院，江西宜春336000)摘要：本文研究了在局部凸Hausdorf拓扑向量空间中的集值映射g一严有效次梯度和￡一严有效次微分的问题．利用凸集分离定理的方法，获得了该次微分(次梯度)的存在性及它的一些性质，推广了一类参数扰动集值优化问题在￡严有效意义下的稳定性的结果．关键词：集值优化；E．严有效性；次微分；次梯度；稳定性MR(2010)主题分类号：46N10中图分类号：O221．6文

2、献标识码：A文章编号：0255—7797(2014)04—0752—071引言近些年，集值优化已成为向量优化关注的热点问题．作为刻画优化问题最优性条件的重要工具．(次梯度)次微分的概念已被成功推广并应用于稳定性理论的研究[1-5]．胡毓达等[0]定义了集值映射分别在有效、弱有效意义下的次微分，并讨论集值映射的有效点集、弱有效点集在次微分意义下的稳定性．另一方面，向量优化的研究与集合锥有效性研究相同步．由于集值优化理论的逼近有效解与Ekeland变分原理之间存在紧密的联系，由此各种逼近有效性的概念被相继引入，g一严有

3、效性是其中具有代表性的逼近有效性之一．Li[6]讨论了一严有效解的标量化定理，—Lagrange乘子定理和一鞍点定理．本文将引入集值映射在￡一严有效意义下的次微分概念，并得到了该次微分的存在性定理及其稳定性．与文献f21相比，定理的条件有所减弱．2基本概念设X是局部凸拓扑向量空间，y和Z是局部凸Hausdorf拓扑向量空间，y和Z分别为y和Z的拓扑对偶空间．设≠McY，我们以clM、intM和coneM分别表示M的闭包、内部和生成锥，其中coneM=fm：0，m∈M)．设CcY为内部非空的闭凸点锥．一个凸子集BcC

4、称为锥的基，如果0clB且C=coneB．C的对偶锥定义为C={c∈y：C(C)0，C∈)，B={∈y：存在t>0使得(6)t，b∈B)．定义2．1【6]设0≠McB是的基，E∈C．点Y∈M称为关于基JE}的E一严有效点，记作Y∈E—FE(M，B)，如果存在零点邻域使得clcone(M+E—Y)n(U—B)：0(2．1)收稿日期：2013—06—09接收日期：2013—10—14基金项目：江西省自然科学基金(20122BAB2llD04)；江西省教育厅科技项目(GJJ13696)作者简介：余丽(1980一)，女，江

5、西宜春，讲师，硕士，研究方向：集值优化及应用．余丽：集值映射s一严有效点集的次微分及应用753注2．1【。](2．1)式等价为cone(m+￡一)n(U—B)=引理2．1【。1设B为c的基，E∈c，仍≠MCY，则E—Flr,(M，B)：E—FE(M+C，B)设F：X一2y为一集值映射，则F的定义域，图，上图分别定义为doraF={∈：F()≠}，graphF：{(，)∈×y：∈doraFj∈F())，epiF={(z，)∈×Y：∈domF，∈F(x)+)定义2．2(]令F：一2y为一集值映射，(0，0)∈graph

6、F．F称为在点(0，)处是下半连续的，如果对0的任意邻域N(V0)，存在0的邻域Ⅳ(0)使得对所有的∈N(co)有F()nⅣ(0)≠．定义2．3[7]设集值映射F：一2y，如果对任意的1，2∈，0≤l，有,XF(z1)+(1一)F(2)CF(~zl+(1一)2)+，则称F在上是一凸的．定义2．4设F：一2y是集值映射，点∈，∈F()，并且∈X，给定向量P∈intC，若一()p∈g—FE[U∈x(F(x)一()p)，B]，则称∈X是集值映射F在点(，)关于向量P的￡一严有效次梯度．F在点(，)关于向量P的一严有效次梯

7、度的集合称为F在点(，)处关于向量P的g一严有效次微分，记作一FF(，)．若一FF(，)≠0，则称F在点(，)关于向量P是一严有效次可微的．3￡．严有效次微分的存在性定理引理3．1[】设F：X一2y是一集值映射，且0∈doraF，则下面三个条件只要满足其中之一，就有int(epiF)≠仍．(I)存在雪∈F(zo)使得F在(zo，雪)处是下半连续的．(II)存在0∈y使得r(x)cn—．(III)存在映射．厂：—y使得，()∈F(x)(Vx∈)，并且，在0的一邻域(0)内连续．定理3．1设为的基，F：一2y是一凸的集

8、值映射，(0，o)∈graphP∈intC，yo∈E—FE(F(xo)，)．则只要引理3．1中的条件满足其中之一，就有一FF(0，Yo)≠．证因为Yo∈g—FE(F(Zo)，)，则存在零点的邻域使得cone(F(Zo)+E一)n(—B)=0。(3．1)定义A：{(，)∈X×Y：∈F(x)+cone(B—))数学杂志由F是一凸的，Ccone(B—)知F是con