含Neumann边界条件的LDG方法的稳定性-论文.pdf

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1、第27卷第2期纺织高校基础科学学报Vo1．27。No．22014年6月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESJun．，2014文章编号：1006—8341(2014)02—0199—03含Neumann边界条件的LDG方法的稳定性郑亚敏(陕西榆林学院数学系，陕西榆林719000)摘要：针对一维常系数对流扩散模型方程，讨论了当含有Neumann边界条件时，局部间断有限元方法(LDG方法)的稳定性．利用间断有限元的基本理论和分析分法，证明了当边界条件为Neumann边界条件时，LDG方法仍为稳定的．关键词：LDG方法；Neum

2、ann边界条件；稳定性中图分类号：O172文献标识码：A局部间断有限元方法(IocalDiscontinuousGalerkinFiniteElementMethod，LDG)是针对一般形式的对流扩散方程RKDG方法的扩展．文献[1—3]考虑周期性边界条件来进行稳定性分析；文献[4—5]证明了对流扩散问题的间断有限元法解的唯一性；文献[6—8]对于含有Dirichlet边界条件时的误差做出数值模拟．但以往文献均未讨论复杂的边界条件的解的稳定性，即使有些改成一般性边界条件，但分析稳定性时，都是针对具体的数值流通量，而没有说明选取一般形式的数值流通量所需要满足的范围，不

3、具有一般性．本文针对含有Neumann边界条件的对流扩散问题，做出稳定性的分析．1LDG方法在一维情形下，考虑对流扩散问题+(cu—du)一f，Q一(Ⅱ，6)×(O，T)'⋯{“l一。一“。，1"2一(口，6)．其中，未知量为标量，假定速度C>0，扩散系数d>0，C，d均为常数．设变量q=，引人流通量函数h一(，hq)一(cu一，一~／)，设I1为区间(口，6)的任意一个划分，定义网格区间I1一，一H，)，J===1，2，⋯，M)．设训一(，'Oh)为方程的近似解，叫一(，)为方程的真解，定义有限元空间为Vh一{L(n，6)；l．∈P(Ij)，一1，2，⋯，M}．设

4、检验函数仇，。，73∈，且用数值流通量五一(五，)代替流量函数五在节点z处的值，则原方程变为W^一(^，)∈H(0，T；Vh)×L。(O，T；^)，V，，；∈Vh，在每个小区间Ij一(xj一1，Xj)，一1，2，⋯，M，有收稿日期：2013—04—22基金项目：榆林学院高层次人才启动基金项目(09GK12)作者简介：郑亚敏(1983一)，女，河南省新乡市人，陕西榆林学院讲师，硕士．主要研究方向为计算数学．E-mail：yaminzheng@163．tom200纺织高校基础科学学报第27卷一(九，())Jf+一(_厂)『，，，l々一1g，)‘一(，)。+五。i一。，‘

5、28，“(O)，)0一(‰，)．定义函数在点z，处的跳跃值r-,d和平均值一U，一般选择如下数值流通量＼，五一(一_q—c[]一c。[q]，一42+c。[])．r．ll在定理1的证明中，c12在端点处的取值应满足一定的范围，其取值对于方法的稳定性●一有2很大(影响．当边界条件为Neumann边界条件时，即~／(口)一q(口)，(6)一q(6)，在n，b两端点数值流通量函数分别为、∽，f(口)===C／d．()一(4-d／z+c。(口))q^()+(一4-d／z+f(a))q(n)0，出一+)'一+㈥l(五(6)一CU(b-)一(4-d-／z+c(6))(b-)+(一

6、J-d／z+f。(6))g。(6)，一盂(6)：：：一(6_)．L叫2稳定性证明+．Tr●0J引理1[3]设F(z)为分片多项式，在区间r-a，6]上，有Fz(口)+F2(6)r6———一≤IF(z)dx(c。与F无关)．√口定理1设问题(1)具有Neumann边界条件，真解为充分光滑的，为近似解，则LDG方法为稳定的．证明当问题含Neumann边界条件时，利用两端点n，b处所定义的边界数值流通量出五(n)，(“)，左(6)，矗(6)，对式(2)从0到T积分，并把每个小区间相加，得到双线性形式：B(Wh，)：=+：L('，)，其中Wh@r=r(^，qh)，l，一(，

7、)为检验函数．／●＼取检验函数'，为数值解，则有B(，)=L()，由双线性形式计算得、，+r—其中)个M一1一([()+)+C扩)／一¨(一,／2十fJ。㈣)¨¨蚪j．0(㈤)—(。(6))g2((b-)d+』(一+c1。㈤)+)d．将T1移至等式(4)右端，并对右边式子作出估计．利用引理1和Yang不等式，有rTrJIo(，，(￡))dt≤JIll_厂llI()lldt．(5)0了、2l≤至q；(6)d+．『}i(6一)d+}(“)dt+J『I}÷i(a+)dt一一0JIOClq}(a)dt+√J0C2q；(6)dt+，J{0了4C2^(b-)dt+JfJ0—