Neumann问题的对称解

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1、华南理工大学学报(自然科学版)第29卷第2期JournalofSouthChinaUniversityofTechnologyVol.29No.22001年2月(NaturalScienceEdition)Februany2001文章编号:1000-565X(2001)02-0001-03*Neumann问题的对称解12姚仰新许金泉(1.华南理工大学应用数学系,广东广州510640;2.惠州大学数学系,广东惠州516015)摘要:讨论了在对称区域上,奇异扰动Neumann问题只有一个局部最大值点的对称解.关键词:奇异扰动;Neumann问题;对称解中图分类号:O175.25文献标识码:AN设

2、8是R中的一个有界区域,且关于各个坐最大值点?容易看出,如果这样的解存在,则这个唯N标平面是对称的,即若x=(x1,,,xN)IR,则一的局部最大值点一定是原点.N笔者对奇异扰动Neumann问题的对称解进行(x1,,,xi-1,-xi,xi,xi+1,,,xN)IR,i=1,2,,,N,考虑下面的Neumann问题:了研究,得到了以下结论:-E2$u+u=Q(x)up-1,xI8定理1设8关于各坐标平面对称,Q(x)关于u>0,xI8各个变量是偶函数,且Q(x)是有正下界的有界连(1)5u续函数,则存在E0>0,使得当EI(0,E0]时,方程=0,xI585n(1)存在解uE,uE关于各坐

3、标变量是偶函数,且原点式中:E>0是一个小参数;如果N3,则2

4、p-1N-$u+u=u,xIR值点,且该局部最大值点落在边界上.由此可知,即Nu>0,xIR使8关于各坐标平面对称,奇异扰动问题(1)的能,u(0)=maxu(x)量极小解也并非关于各坐标平面对称.xIRN由上面的讨论,我们自然可以提出以下的问题:uIH1(RN)如果8和Q(x)关于各坐标平面对称,且Q(x)关于由文献[4]我们知U(x)是

5、x

6、的函数,且关于

7、x

8、各个变量是偶函数,那么方程(1)是否存在这样一N-1

9、x

10、2严格下降,limU(x)ex=c0>0.个解,它关于各个变量是偶函数,并且只有一个局部

11、x

12、y+]x作变换y=,设8E={y:EyI8},则式(1)E等价于收稿日期:20

13、00-03-09p-1-$u+u=Q(Ey)u,yI8E*基金项目:国家自然科学基金资助项目(19871030);广东省自然科学基金资助项目(980587)u>0,yI8E(2)作者简介:姚仰新(1957-),男,副教授,硕士,主要从事5u=0yI58E偏微分方程的研究.5n2华南理工大学学报(自然科学版)第29卷*不失一般性,我们设Q(0)=1,现在求式(2)的具有JcE(v)=fE+LEv+RcE(v)(6)以下形式的解:令u1E=U(y)+vE(y)(3)F(f,v)=f+LEv+RcE(v),f,vIHe(8E)122(7)式中,vE(y)IHe(8E),且vE=QDvE+vEy8则

14、E0(当Ey0时).类似文献[1]和[2]的证明,我们知5FF(0,0)=0,(0,0)=LE.5v若式(2)具有形式如式(3)的解,则uE仅有一个局11从而有:如果LE:He(8E)yHe(8E)可逆,且部最大值点.-11221pLE[c(与E>0无关),则由隐函数定理知,存定义IE(u)=Du+u-u,12Q8pQ8在D>0(与E>0无关),使得对任意的fIHe(8E)EE1uIH1(8满足f0,使得当EI解

15、是正则的.(0,E0]时,有*2定理的证明Ñ.fE