圆锥曲线非对称问题的几个渣解

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1、江苏南京钟浩然2x2例题如图所示,A、B是椭圆E:y1的左右顶点,过点M(1,0)作斜率为k(k0)4kkk,kk1的直线l交椭圆E于C、D两点,其中点C在x轴的上方,记,证明：为AD1BC2k2定值。解：设tththhthttthththt㌳thhtthh㌳hththhhththththhthhhthhhhhhhtthtthhtht

2、htt解法一：（韦达定理和积转化）设hhthttt㌳tht㌳tthhttht㌳ttthtthththhhhthhthththhhhhtthtth2t3注：在本题中若设直线为：xty1(t0)，联立后可得到yy，yy，122122t4t42t此时和积关系较明显：yyyy。12123解法二：（韦达定理消元）2

3、224k416k12k623x3xkxx2xx3x222221121224k14k13222kxxxxx24k48k4k22121222xx22224k14k12224k48k12k623x3xkxxxx3x221211121214k14k1或3222kxx2xxx24k416k4k22121212xx21214k14k1解法三：（第三定义转化）由已知得A(2,0)B(2,0)1江苏南京钟浩然y2k1y1y11kB

4、Ck1kBC2x12x1-2x1-4C在E上2x122222y1x4y4x44y1111142y111kk-k-1BC21-4y44k1BCk11k1要证是定值即证kBCk2为定值k24kBCk2k2224k48k21yyk(x1)(x1)xx(xx)1221212212124k1kkkkBC222x-2x-2(x2)(x2)xx2(xx)44k416k12121212424k12224k44k1231kk22220k41

5、6k436k12k113k124（）12解法四：（椭圆方程转化）hhhhhhhhhttthhhtkthtkthhttkthkthtkthhhhthttkhtkhkthtkttkthtkhhkk∵ththkhththhkth且tht且hhhththhhhh

6、hht解法五：（未知点解未知点）y设C(x,y)l:y1(x1)11CDx11y1设kl:yk(x1)CDx112江苏南京钟浩然yk(x1)2222224(k1)5x18x1x2(4k1)x8kx4(k1)0xx2122y14k12x5145x83y11xy222x52x5113y1yy2x5yk12111kk312x2x25x83(x2)k1211222x51注：当已知一条直线过坐标轴上定点或斜率不变交椭圆于两点

7、时，可以利用韦达定理将一点坐标用另一点表示出来，从而统一变量得到对称的结果。这里需要注意的是：若直线过坐标轴上定点，用xx较佳，因为化简后必有x可以消去。而直线斜率固定时，则用xx更12112好。解法六：（直线向量化）不设直线，改设CMMD01x1x21CMMDyy122x22x2121y11y2144222x222(1)x213535(y)1xx22144223539

8、2kADx12y21x1212123kBCx22y1x22