构造圆锥曲线解决代数问题的几个特例

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1、构造圆锥曲线解决代数问题的几个特例构造圆锥曲线解决代数问题的几个特例　.L.数学问题通常是由数量关系式或者图形给出问题的条件和结论。若是能把抽象的数与直观的图形生动地结合起来，常常能诱发问题的线索，发现问题的隐含条件，给问题的解决带来希望，化难为易。下面探讨利用问题的数量关系式，构造适合数量关系式的形圆锥曲线，把抽象的代数问题以形象的图形反馈出来，结合直观的图形进行量化的算式或数理推证，从而使解题过程趋于简化，优化解题。　　一、构造圆锥线求函数的值域　　函数的值域是函数的一个重要性质，求函数的值域主要是通过观察函数的解析式的结构和函数的性质来确

2、定解法，解法一般有直接法、配方法、换元法、判别式法、反函数法、图像法及导函数法，但由于函数表达式各异，常带来求解的困难，根据函数的解析式，作某些变换，构造新的函数图象圆锥曲线求函数值域别具一番天地。　　例1:求函数y=3x+2√x2-4的值域。　　分析：要直接作出这个函数的图象是比较困难的。　　解：令u=3x，v=2√x2-4（v≥0，

3、u

4、≥6）　　我们可以把y视作为平面直角坐标系uov下，直线（1）与双曲线（2）有公共点时，直线（1）在v轴上的截距，如图所示：　　直线（1）过双曲线（2）右顶点（6，0）时

5、，直线（1）在v轴上的截距为y=6，直线（1）与双曲线（2）左支相切时，由切线公式v=ku±　　√k2a2-b2得y=-√36-16=-2√5　　所以直线（1）与双曲线（2）有公共点时，y≤-2√5或y≥6　　所求函数的值域为（-∞，-2√5]∪[6，+∞）　　二、构造圆锥曲线解方程　　代数或三角方程一般是用代数方法或三角法也可以用图象法。对某些形式的方程转化，难度较大，若是根据方程的结构特征，设法构造圆锥曲线模型，使问题简化，

6、从而优化解题质量。　　例2：解方程√（x+4）2+5+√（x-4）2+5=10　　分析：解含有根式的方程，一般是通过平方关系转化为高次方程，这使得问题不仅复杂，而且计算量增大。　　解：令y2=5，原方程可变为　　√（x+4）2+y2+√（x-4）2+y2=10（1）　　根据椭圆的定义特征可知，方程（1）的轨迹是以原点为中心，F1（-4，0），F2（4，0）为焦点，长轴长为10的椭圆　　∴方程（1）可写为，将y2=5代入可得x=±　　三、构造圆锥曲线求函数的最值　　对含有

7、多个根号的函数求最值，用常规的求最值方法是困难的，可以考虑思路的变形或变量代换。通过联想猜想，另辟蹊径，迅速突破但成功的联想，常常是以坚实的知识和灵活的思维能力为基础的，通过构造圆锥曲线求函数的最值是一种很好的方法。　　例3：x∈R求函数f（x）=x2-2x-14√x-1+x的最小值。　　分析：用常规求函数的最值的方法.L.，难以解决。　　解：将原函数解析变形为：　　2f（x）+61=（x+）2　　=x+　　令y=2√x-1，则y2=4（x-1），　　∴2f（x）+61=x+　　如图可知，上式的右

8、边几何意义是　　抛物线y2=4（x-1）（上半支）上的点P（x，y）到y　　轴的距离

9、PD

10、与P到定点A（4，7）的距离之和的平方；　　∵

11、PD

12、+

13、PA

14、=

15、PF

16、+

17、PA

18、其中F（2，0）是抛物线的焦点　　当A，P，F共线时，

19、PD

20、+

21、PA

22、=

23、AF

24、取到最小值√53。　　此时2F（x）+61=53　　∴f（x）min=-4，x=。　　求最值问题，尤其是求双动点的最值，用常规的代数方法常常不能解决，若我们能找到两动点的轨迹，从轨迹图象中分析隐含条件，往往能帮助我们快速解决问题。　　例4：求函数f（θ）

25、=（cosθ-3sinθ）2+（sinθ-2cotθ）2的最值。　　分析：这是一道三角最值题，用三角或代数方法来解，颇费心计，若是构造圆x2+y2=1及双曲线xy=6，则f（θ）是圆x2+y2=1上一动点P（cosθ，sinθ）与双曲线xy=6上一动点Q（3tanθ，2cotθ）间的距离的平方。如图：　　因此，求f（θ）的最值就　　转化为在圆x2+y2=1及双曲线　　xy=6上求两动点间距离的最值。　　如图：圆与双曲线均关于直

26、　　线y=x对称。　　∴P，Q两点的坐标分别为P（，），Q（√6，√6）或　　P（-，-），Q（-√