构造几何图形解决代数问题

《构造几何图形解决代数问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、构造几何图形解决代数问题摘要数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。关键词数形结合解题以形助数教学1

2、.“以形助数”的思想应用1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求AB。A=[0,4]B=[-2,3]分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。如下图，由图我们不难得出AB=[0,3]例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为分析：如下图，设所求人数为

3、,则只喜爱乒乓球运动的人数为。评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。例:（2009山东理）若函数分析：设函数和函数，则函数有两个零点，就是函数与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数的图象过点（0，1），而直线所过的点

4、一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数的取值范围是01例:若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，求的x的取值范围。分析：由偶函数的性质，y=f(x)关于y轴对称，由y=f(x)在上为减函数，且f(-2)=f(2)=0，做出如图，由图象可知发f(x)<0，所以x(-2,2)评价：函数问题是高考中主打题型，往往又是比较难解的问题。在解决这类问题时，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，

5、则达到事半功倍的效果。1.3解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例:若方程在内有唯一解，求实数m的取值范围。分析：原方程可化为，设在同一坐标系中画出它们的图像，如下图，由原方程在（0，3）内有唯一解，知的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是-1

6、x到点（-1）的距离与点x到点2的距离的和的最小值为3，即，所以实数m的范围是：m<3.评价：方程问题和不等式问题归根结底也就是函数问题的变形，只要我们根据题意条件循序渐进地找出突破口，便可同样很好地利用图象简捷地解决。1.4解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。例:求最值分析：我们可以把（cosx,sinx）看成是单位圆周上的一点，可以理解为点（cosx,sinx）与点（2，-2）连线的斜率。由图可知，斜率

7、的最大值与最小值应为通过点（2，-2）且与单位圆相切的两条切线的斜率，设点（2，-2）且与单位圆相切的直线方程为：，利用圆心（0，0）到切线的距离为圆的半径1，可以求出斜率k的范围：，所以评价：三角函数的图象和性质是高考的热点，在解题时要灵活运用数形结合的思想，把图像和性质结合起来，通过图象直观地感受题目的要义，为解题提供方便。1.5解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。例:（08年高考湖南卷理改编）已知变量x,y满足条件，求的最大值。分析：本题实

8、质是线性规划问题，运用图象画平面区域，再求线性目标函数的最值。如图所示，可行域为图中阴影部分（包括边界线），则z=x+y在A点处取得最大值，由联立得A（3，3），故最大值为3+3=6.评价：线性规划位于不等式和直线方程的结合点，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。1.6解决数列问题：数列