《利用相关点法巧解对称问题》

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1、利用相关点法巧解对称问题对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。一.函数中的对称问题例1设y=fM是定义在R上的偶函数，其图象关于直线兀=1对称。证明)y/(朗是周期函数。证明：设(x,y)为y=/(x)图彖

2、上任意一点，则其关于x=l的对称点可求得：(2-兀,刃，于是根据函数关系有:y=f(x)=f(2-x),又因为y=/(x)是定义在R上的偶函数，故有：/(x)=/(-x),因此结合上式有：f(x)-/(-x)=f(2-x),故由f(-x)=f(-x+2)知:y=f(x)是周期函数，T=2O例2设y=f(x)是定义在R上的函数，则函数y=f(x-l)与/=/(I-兀)的图象关于()A.直线y=0对称B.直线兀=0对称C.直线y=l对称D.直线兀=1对称解：可设(X],y)为y=/・(兀一1)上任意一点，则有y=/(^-1)；若(X2，y)为y=

3、/(1-兀)上一点，也有y=/(1-兀2)，—般地，由f(xl-1)=/(I-x2)nJ知：兀

4、一1=1一兀2，所以、*，=]，即(xi，y)与(X2,y)关于直线x=l对称，故选(D)。评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通Z处，均可抓住对称点(即相关点)加以讨论。一.三角函数中的对称问题例3已知函数/(兀)=sin(型+0)(0>0,0505龙)是R上的偶函数，其图象关于点m(¥，o)对称，且在区间0,彳上是单调函数，求卩和血的值。解：由/(力是偶函数，得/(-%)=f(

5、x)即sin(-妙+0)=sin(6tir+(p)所以一cos0sin妙=cos^sinmv对任意x都成立，且e>0,所以得cos。=0依题设05°5龙，所以解得(p=—,这时/(x)=sin(dA+—)22由y=fM的图象关于点M对称，可设P(x,y)是其图象上任意一点，P点关于M(—,0)的对称点可求得为：(耳-兀-刃2即有y=fM=一f(乎一x)，(*)取x=0,得/(0)=-/(—),所以，sin-=-sin(—6y+-)=l所以W"一2所以69=—(2k—1),k=1,2,3…当比=1时,血=吕J(兀)=sin(吕兀+彳)在0,y上

6、是减函数;332_2_JTJT当k=2时，6y=2,/(%)=sin(2x+-)在0,-上是减函数；当k>2H'j",69>—,/(x)=sin(7zzr+—)在0,—上不是单调函数;3222所以，综合得3=*或0=23评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点（或称相关点），寻求两相关点（对称点）之间的函数等量关系（见*）是解决问题的关键。一.解析几何中的对称问题例4设曲线C的方程是）‘=兀3_厂将c沿x轴、y轴正向分别平行移动（、s单位长度后得曲线G（I）写出曲线G的方程；（II）证明

7、曲线C与Ci关于A（-,-）点对称；（I）解：曲线C］的方程为：y-（兀_（）3-（%-/）+5（II）证明：在曲线C上任取一点B

8、（xi，yi）o设B2（x2,y2）是B

9、关于点A的对称点，则有：x{+x2=ty{+y2=s~~2~2_2所以%）=t-x2,yi=$-y2代入曲线C的方程，得X2和y2满足方程：s—y2=a_兀2）'_a_兀2）即％—（兀2——（兀2—『）+$可知点场（七，儿）在曲线Cl上反过来，同样可以证明，在曲线Cl上的点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C关于点A对称。例5椭圆C与椭圆G：呼+咛1“关于直线心=

10、。对称，椭圆C的方程是（）a.B.(—2)2

11、0-3)294(x+2)2I(y+3)294D.(—2)2

12、()-3)24929解：设（x,y）是椭圆C上任意一点，则其关于直线x+y=O的对称点可求得为（-”-力，该点在椭圆G上，故其坐标适合椭圆G的方程，将其代入有:（-y-3）2+（-x-2）2化简后知选a。94从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应的对称关系）和核心，并且将儿何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决儿何中才被得

13、以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4,例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享