Banach空间上的光滑变分原理-论文.pdf

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1、2013年12月兴义民族师范学院学报Dec．2013第6期JournalofXingyiNormalUniversityforNationalitiesNo．6Banach空间上的光滑变分原理邵留洋王颖敏黄激姗(兴义民族师范学院，贵州兴义562400)摘要：光滑变分原理的意义不只在于优化理论方面，它在控制理论，不动点理论与大范围的分析领域有非常广泛的应用，Borwein—Preiss光滑变分原理也是其应用非常广泛的定理，但应用条件较苛刻，为解决此问题，把Borwein-Preiss光滑变分原理推广到希尔伯特空间以及巴拿赫空间中更一般的形

2、式。关键词：凸下半连续；光滑变分原理；强最小；Banach空间文章编号：1009-0673(2013)06—0100—03中图分类号：O177文献标识码：ABanachSpaceontheSmoothVariationaIPrincipleSHAOLiu——yangWANGYing——minHUANGJi—．shan(xingyiNormaUniversityforNationalities，Xingyi，Guizhou562400，China)Abstract：Thispapermainlyconsiderthesmoothvaria

3、tionalprinciple，variationalprinciplesingnificanceliesnotonlyinitsopti—mizationtheory，controltheory，fixedpointtheoryandanalysisoflargescaleisalsoverywideapplication，Borwein—Preisssmoothvaria—tionalprincipleisusedwidely，buttheapplicationofrelativelyharshconditions，inordert

4、osolvethisproblem，theBorwein—PreisssmoothbecomemoregeneralformprincipleisextendedtoHilbertspacesandBanachspaces．Keywords：convexlowersemicontinuous，smoothvariationalprinciple，strongminimum，Banachspace一、基本概念函数(或者称正常下半连续函数1．定义1．1：设X是Banach空问，f：X—Ru定义1_3：(a)一点x∈E叫做f在E上严格最小点，

5、{+∞)是实值函数，集dom(f)={x∈X；f(X)<∞)叫立口果．，I[jf)<，(，Vx∈E，≠做f的有效定义域．(h)一点X∈E叫做f在E上强最小点，如果f定义1．2：设X是Banach空间，x—Ru(x)=infwf且每个f最小化序列收敛到主．f+∞}是实值函数，如果定义1．4：设X是Banach空问，X—Ruf+∞}f(x0)~

6、xYX上的下半连续函数．f的强最小也是严格最小，但是反过来不对．(ii)如果dom(f)≠则称f是x上的真下半连续例如：点=0是函数f(x)=x2e一在R上严格最小收稿日期：2O13一l0一_29作者简介：邵留洋(1980一)，男，河南周口人，兴义民族师范学院数学科学学院教师，主要从事泛函分析非光滑分析的研究。·lO0·2013年邵留洋王颖敏黄激姗Banach空间上的光滑变分原理第6期点，但不是强最小点．证明：略(见[6])．注意到每个序列x。一+∞，(n一+∞)是f最小化序如果E是Hilbert空间，扰动函数P在定理2．2列，f：x—

7、Ru{+∞}是真下半连续凸函数，对8>0中能够简化我们看下面的定理．定理2．3：假如E是Hilbert空间，￡>0,x∈E使得设∑(f)：={x∈EIf(x)~0，存在y,z∈E使得下列式子成立irtf{diam(∑f))J￡>o1=o(a)llz—xll<入，llz—yll<入现在引入一种扰动函数P，它在下面的定理中将(b)f(z)~

8、设px)：=jL二P(x)：=∑uP((n+1)(x_zn))(ii)，：=，利用n=0P(0)=0．-q：=sup(1lxIllx∈E，P(x)<1)<+∞(i)定理2-3则存在序列fzl收敛到z．扰动函