可数基的Banach空间上的向量值函数的一些性质-论文.pdf

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1、第30卷第3期大学数学Vo1．30，No．32014年6月COLLEGEMATHEMATICSJHn．2014可数基的Banach空间上的向量值函数的一些性质刘玉波，李旗挺(天津理工大学理学院天津300384)[摘要]用初等的方法讨论了取值于具有可数基的Banach空间上的向量值函数的连续、可导、解析、可积及解析的充要条件等性质，得出取值于可数基的Banach空间上的向量值函数解析的两个充要条件．[关键词]向量值函数；Banaeh空间；可数基[中图分类号]0177．2[文献标识码]C[文章编号]1672—1454

2、(2014)03—0059—061基本概念和引理定义1]用C表示复数域，E表示赋范线性空间．设D为c的一个子集．若对D中任一元素22，在E中有唯一确定的向量与之对应，则称在D上确定了一个到赋范线性空间E上的向量值函数，记为==：I厂(z)，其中∈D．定义2[1]设函数一厂(z)是定义在区域D(C)，取值于赋范线性空间E的向量值函数，为D的聚点．若存在一个向量。∈E，使对任意e>0，都对应存在一个>0，只要0<1z—z。I<，就有l】，(2)一oll<￡，则称函数，()在点有极限X。，记为limf(z)===z。．

3、若∈D，且limf(z)z—’=0’20一If(z。)，则称厂(z)在。点连续．定义3E称赋范线性空间E为具有可数基的，是指存在元列)E、，使得对于任意的z∈E，其均可唯一地表示成z==∑&P，其中＆∈c(一1，2，⋯)，并且这时称{}为E的基，称&为元对于基的坐标(=1，2，⋯)．引理1．1[2]设E为任一无穷维的Banach空间，那么其必含有具有可数基的无穷维闭线性子空间．引理1．2c设E为Banach空间，其内的非零元列{z}满足[{X)]一E．那么，为了{z}构成E的一个基必须且只须其满足条件：存在卢≥1

4、，使得对任何的a，a．．，a，⋯，a，，当≤时，均有以lI≤．引理1．3Ez在引理1．2的条件下，若当。一。。时，∑。X收敛，则对v∈N，有n1≤卢．定理1．1设z=．厂(2)是定义在区域D(CC)上，取值于具有可数基的Banach空间E的向量值函数．若厂()在点有极限为z。，则在任意一组可数基{)下的坐标函数()在。点均有极限z其中。是向量。在可数基{e}下的第i个坐标分量(一1，2，⋯)．证对任意￡>0，存在>0，当0

5、60大学数学第30卷则厂(2)一∑fi()P，z。一∑。．由引理1．3，存在卢≥1，对任意的i(一1，2，⋯，，⋯)，I()一。fllll≤l“l耋篁1(^(z)一。)I”l一II厂(z)一。ll<卢e，即I(z)一z。l<-『『]r卢e·所以当z—。时，‘z一。t一，2，⋯，，z，⋯·推论1．1设z一厂()是定义在区域D(Ce)，取值于z’(p≥1)空间的向量值函数，(z)的坐标函数fi(z)(：1，2，⋯，，⋯)满足∑Ifi(z)I在D内内闭一致收敛，则(z)在点有极限为。的充要条件是，(z)的任意坐标函数(

6、z)在。点均有极限X，其中o是向量o的第i个坐标分量(=1，2，⋯，，⋯)．证必要性由定理1即得．充分性．令(。)一{Il一l≤}，其中>0，当lz一l≤时，∑l(z)I一是一致收敛的．因为∑l。I<+。。，所以(∑I厂f()一z。I)<(∑l，f(z)I)+(∑lz。I，)，且在(z。)内一致收敛，因此，对任意e>，对：-应10存在N，当00，存在>O，当0

7、)一z。l<(=1，2，⋯，N)．取一min{B，⋯，，}，当0

8、函数fl(z)(=1，2，⋯)满足：∑I()l在D内内闭一致收敛，则厂(z)在(∈D)点连续的充要条件是(z)的任意坐标函数f(z)在点z。均连续，且lim()一()(一1，2，⋯，7z，⋯)．2向量值函数解析与坐标函数解析的关系定义4设向量值函数厂(2)在点的邻域内或包含的区域内有定义．对于下面的比值Az一，(z)2一一f0(zo)，z∈X，若当z按任意方式趋于z。时，