从一道竞赛题谈导数在高中数学中的应用

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1、·44·重庆《数学教学通讯》2005年3月(上半月)(总第220期)从一道竞赛题谈导数在高中数学中的应用(华中师范大学2003级教育硕士　430079)　卢三国22004年全国高中数学联赛一试第15题(最令U(x)=x-tx-1=2后一题):已知A、B是方程4x-4tx-1=0(t213x-tx--442x-t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=2的1x+1又A+B=t,AB=-,4定义域为[A,B],(1)求g(t)=maxf(x)-23minf(x).所以U(x)=x-(A+B)x+AB-4=此问关键是要明确在区间[A,B]上的单调3(x-A)(x

2、-B)-性,若用单调性定义的方法就比较繁琐(参考答4又x∈[A,B],所以(x-A)(x-B)≤0,案的方法):3设A≤x10,所以f(x)在[A,B]上递22所以4(x1+x2)-4t(x1+x2)-2≤0增.22因为x1+x2>2x1x2,用导数处理这一问题,其过程很灵活,方法所以4(x2221+x2)-4t(x1+x2)-2>-2(x-tx-1)很多,又如:f′(x)=224õ2x1x2-4t(x1+x2)-2(1+x)因为x∈[A,B],由已

3、知:1所以2x1x2-t(x1+x2)-<0224x-4tx-1≤0,而f(x2)-f(x1)=21所以x-tx-≤0,2x2-t2x1-t42-2=3x2+1x1+1所以x2-tx-1+≤04(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]2223(x2+1)(x1+1)所以x-tx-1≤-<0,4又t(x1+x2)-2x1x2+2>t(x1+x2)-所以f′(x)>0.2x1另外还可将A、B具体求出:1x2+>02只须令f′(x)>0得所以f(x2)>f(x1)2x-tx-1<0,所以f(x)在[A,B]上递增.22所以g(t)=maxf(x)-

4、minf(x)=f(B)t-t+4,8t+1(2t+5)22所以g(t)=216t+2522t+t+1t+t+4但若应用导数知识求解,过程就大为简化:B=2<22-2(x-tx-1)2x-t因为f′(x)=22,而f(x)=2,x∈[A,B]<(1+x)x+1©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronic

5、PublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net《数学教学通讯》2005年3月(上半月)(总第220期)重庆·45·t-t2+4t+t2+411(,),[-2ln(1+x)+x(1+x)]=22x即x∈[A,B],f′(x)>0.11ln(1+x)(1+x)x[-2]=x(1+x)x这些方法十分灵活,但均建立在导数与函1(1+x)x数增减性关系的基础之上,充分利用这种关系2[x-(1+x)ln(1+x)]x(1+x)可优化老教材中的很多问题,再如2000年全国令U(x)=x-(1+x)ln(1+

6、x),当x≥高考理科第19题:2时ln(1+x)>1,显然U(x)<0,2设函数f(x)=x+1-ax,其中a>所以f′(x)<0.1,求a的取值范围使函数f(x)在区间[0,所以f(x)在x≥2是减函数,+∞)上是单调函数.因为1f(n)即证.不用单调性定义,而用导数方法:这种导数运用,需要学生头脑中要有导数x因为f′(x)=-a(x≥0)运用意识,将不等式进行等价转化,使之形成函2x+1数的两处取值,然后利用导数与函数单调性的x令f′(x)<0即a>,x2+1关系求解.x而2∈(0,1),2　利用导数求直线方程x+1所以当a

7、≥1时,f′(x)<0例2(2004年高考湖北卷,理科第1题)x2令f′(x)>0,即>a>0,当a≥与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x的2x+1切线方程是()1,左边不等式恒不成立,当0

8、方法归由已知:y′=k=2,所以x=1即切点(1,纳为一种数字意识,可以使求导方法在高中数学中