导数在高中数学中的应用

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1、导数在高中数学课程中的应用新乡市一中数学组李凤德[摘要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数新课程应用一、知识地位分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最

2、值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。二、导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查

3、力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1设函数的图像与轴交点为点，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式．解因为函数的图像与轴交点为点，所以点的坐标为，又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而，又切线斜率，故在处的导数，而，，从而，又函数在处取得极值，所以解得，，所以所求函数解析式为．⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是

4、，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2求函数的值域．分析先确定函数的定义域，然后根据定义域判断的正负，进而求出函数的值域．解显然，定义域为，由于，又，可见当时，．所以在上是增函数．而，所以函数的值域是．⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法：(1)求函数在上的极值点；(2)计算在极值点和端点的函数值；(3)比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值

5、，最小的是最小值．例3求函数在上的最大值和最小值．分析先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值．解由于，则当或时，，所以，为函数的单调增区间；当时，，所以为函数的单调减区间．又因为，，，，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑的正负即可，当时，单调递增；当时，单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4求的单调区间．分析应先确定函数的定义域，再利用导数讨论

6、其单调区间．解显然，定义域为，又，由，得或；又由，得或，所以的增区间为和，减区间为和．（二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，过点的切线方程为，但应注意点在曲线上，否则易错．例5(2009·衡阳模拟)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．解　f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.分析此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．(2009·衡阳模拟)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．解　f′

7、(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①又k＝＝x－3x0＋2，②由①②得x0＝，k＝＝－.∴所求曲线的切线方程为y＝－x.⒉求两曲线切线方程例6已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，求公切线的方程．分析本题也可用常规方法求解，