浅谈导数在高中数学中的应用

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1、浅谈导数在高中数学中的应用文章来源莲山课件www.5YkJ.COm浅谈导数在高中数学中的应用 【关键词】高中数学中的导数；应用　　导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。本文从几个方面出发，谈一谈导数的应用。　　1.几何方面的应用9在导数概念的基础上，结合函数图像来研究导数的几何意义是

2、导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。　　在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程y=f（x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。　　下面给出求曲线的切线方程的方法步骤：　　（1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：y-f（x0）=f’（x0）（x-x0）　　例1.试求曲线y

3、=xlnx上点（1，2）的切线方程　　解：对函数f（x）=xlnx　　求导得f’（x）=lnx+1　　所以f’（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为　　y-2=1（x-1）　　即y=x+1　　切线方程：y=x+1　　先求出函数y=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。9　　例2.求垂直于直线2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。　　解因为所求的直线与已知直线2x-6y+1=0垂直　　所以所求直线的斜率k1=-3　　又因为所求直线与y=x3+3x2-5相切，　　所

4、以它的斜率k2=y’=3x2+6x　　因为k1=k2即3x2+6x=-3　　所以（x+1）2=0即x=-1　　代入曲线方程得y=（-1）3+3（-1）2-5=-3　　所以切点为（-1，-3）　　故所求直线方程为y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0。　　2.在函数方面的应用运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等命题常以复合的函数形式出现。　　2.1函数单调性的讨论。（1）利用导数的符号判断函数的单调性。函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数

5、表达式较复杂时判断f（x1）-f（x2）正负较困难。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出f’（x），再考虑f’（x）的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。9　　利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。　　一般地，在某个区间（a，b）内，如果f’（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f’（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。　　如果在某个区间内恒有f’（x）=0，则f’（x）是常函数。　　注意：在某个区间内，f’（x）>0是f’（x

6、）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。　　（2）求函数y=f（x）单调区间的步骤。　　①确定y=f（x）的定义域；　　②求导数解f’（x）=0此方程，求出它们在定义域区间内的一切实数根。　　③当f’（x）>0时，y=f（x）在相应区间上是增函数；当f’（x）<0时，y=f（x）在相应区间上是减函数。　　例3.判定函数y1=x3-x和y2=x3+x在（-∞，+∞）上的增减性。　　解：y’1=3x2-1=3（x+13）（x-13）　　当y’1>0得x<-13或x>13　　当y’1<0得-13　　所以y1=x3-x在

7、（-∞，-13）和（13，+∞）内单调递增，在（-13，13）内单调递减。　　因为y’2=3x2+1>0，故y2=x3+x在（-∞，+∞）上单调递增。9　　2.2函数的极值的求法。　　例4.求函数f（x）=13x3-4x+4的极值。　　解：因为f（x）=13x3-4x+4，所以f’（x）=x2-4=（x-2）（x+2）。　　令f’（x）=0，解得x=2或x=-2。　　下面分两种情况讨论：　　（1）当f’（x）>0，即x>2或x<-2时；　　（2）当f’（x）<0，即-2　　当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表：　　

8、因此，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（-2）=28