浅谈导数在高中数学课程中的应用

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1、盐城师范学院毕业论文（设计）浅谈导数在高中数学课程中的应用徐春华（数学科学学院，2003（8）班，02212143号）[摘要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数新课程应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊

2、的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力．一、导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列

3、2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．（一）有利于学生更好地理解函数的性态在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了．如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像．但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如，等函数，仅用描点法就很

4、难较为准确地作出图像．但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、第10页共10页盐城师范学院毕业论文（设计）拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像．这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面．（二）有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导

5、数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性．其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题．（三）有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道在点的切线斜率，正是

6、割线斜率在时的极限，即．由导数的定义，，所以曲线在点的切线方程是．这就是说：函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率[1]．从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线及上的一点，在点外另取曲线上一点，作割线，当点沿曲线趋向点时，如果割线绕点旋转而趋向极限位置，那么直线就称为曲线在点处的切线．（四）有利于学生学好其他学科高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用．微积分所讨论的基本对象是函数，而且以函数的极限为

7、基础．作为微积分的一个重要的分支——微分学，主要涉及变量的“变化率”问题，对于，导数可以解释为关于的变化率．在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：，算出物体的瞬时速度：、瞬时加速度：；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了．第10页共10页盐城师范学院毕业论文（设计）（五）有利于发展学生的思维能力在以前的课程标准中，无论是导数的概念还是应用，更多的是作为一种规则来教、来学．这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处

8、，反而加重了他们的学习负担．而《普通高中数学课程标准(实验)》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维方式，提高学生的思维能力[2]．再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质．这种从局部到整体，