浅谈导数在高中数学的几点应用

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1、浅谈导数在高中数学的几点应用　　《普通高中数学课程标准（实验）》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成，在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。显然，导数在高中阶段的重要性不言而喻。具体如下：　　一、有利于学生更好地理解函数的性态　　在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图象表

2、示出来，因而，如果能准确地做出函数的图象，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了。　　如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以做出函数的图象。但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如y=x3-2x2+x-1等函数，仅用描点法就很难较为准确地做出图象。但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地做出函数的图象。这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面。4　　二、有利

3、于学生更好地掌握函数思想　　数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性。　　其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数来解决相关问题。　　三、有利于学生弄清曲线的切线问题　　学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共

4、点的直线。如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道f（x）在点x=x0的切线斜率k，正是割线斜率在x→x0时的极限，即k=■=■。　　由导数的定义，k=f′（x），所以曲线y=f（x）在点（x0，y0）的切线方程是y-y0=f′（x0）（x-x0）。　　这就是说：函数f在点x0的导数f′（x0）是曲线y=　　f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率[1]。　　从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C及C上的一点P，在点P外另取曲线C上一点Q，作割线PQ，当点Q沿曲线C趋向点P时，如果割线PQ绕点P旋转而趋向极限位置PT，那么直线PT就称为曲线C在点P处的切线

5、。　　四、有利于学生学好其他学科4　　高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用。微积分所讨论的基本对象是函数，而且以函数的极限为基础。作为微积分的一个重要分支――微分学，主要涉及变量的“变化率”问题，对于y=f（x），导数f′（x）可以解释为y关于x的变化率。在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：S=S（t），算出物体的瞬时速度：V（t）=ds/dt，瞬时加速度：A（t）=d2s/dt2；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可

6、以通过微积分的方法来解决了。　　五、有利于发展学生的思维能力　　在以前的《课程标准》中，无论是导数的概念还是应用，更多的是作为一种规则来教、来学。这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处，反而加重了他们的学习负担。　　而《普通高中数学课程标准（实验）》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维方式，提高学生的思维能力。　　再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再

7、过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质。这种从局部到整体，再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的。4　　还有，导数在解题中的应用也很重要，导数是研究函数性质的一种重要工具。而在处理与不等式有关的综合性问题时，往往需要利用函数的性质；因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。　　总之，通过学习导数，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上。在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲