浅谈导数在高中数学解题中的应用

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1、浅谈导数在高中数学解题中的应用徐闻中学周德芬［摘要］导数是联系高等数学与初等数学的纽带，作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性。因而在中学数学教学及解题过程中,可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。［关键词］导数解题导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带來了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教

2、材高考试题的热点和命题新的增长点.这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具.下血举例探讨导数在解题方而的应用。（一）利用导数解决函数问题1.利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了。例1:设函数y=+d的图像与＞，轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-;v-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.解：因为函数y=+d的图像与y轴交点为P点，所以戸点的坐标为（0j）

3、,又曲线在P点处的切线方程为;v=12x-4，P点坐标适合方程，从而=-4，又切线斜率々=12，故在*=0处的导数=12，而y-3ax2+2bx+c,y］v=0=c,从而f=12，乂函数在x=2处取得极值0，所以{1267+4/7+12=0,［8tz+4/7+20=0.解得6/=2，b=-9,所以所求函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4.2.利用导数求函数的值域求函数的值域是屮学数学屮的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握.但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行.例2:求函数/(x)=a/2x+1-Vx+2的值

4、域.分析：先确定函数的定义域，然后根据定义域判断/(x)的正负，进而求出函数/(%)的值域.解：显然，/(X)定义域为,+OO/V)112a/x+2—V2a*+1a/2x+1x+2+2a/2x+12x+7可见当x〉-^■时，.广⑴〉0.2所以/(X)=a/2%+1-a/x+2在1——，+°°2上是麵数.町4)=4,,+oo所以函数/(x)=a/2x+1-士+2的值域是1.利用导数求函数的最(极)值求函数的最(极)值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化

5、，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态.一般地，函数/U)在闭区间［6Z,上W导，则/U)在［6r,/?］上的最值求法：⑴求函数/(X)在((7，/?)上的极值点；(2)计算/U)在极值点和端点的函数值；⑶比较/(%)在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.例3:求函数/(x)=%3-3x在上的最大值和最小值.分析：先求出/(%)的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即得该函数在区间-3，

6、上的最大值和最小值.解：由于/(x)=3x2-3=3(x2-l)=3(x+l)(x-l),则当xe［-3，一l)

7、或xe〔l，

8、］时，fx)>0,所以［-3,-1］,［l,

9、^为函数/(%)的单调增区间；当xe(-1，1)时，fx)<0,所以［-1,1］为函数/(x)的单调减区间.3Q又因为/(-3)=-18,/(-1)=2,/(1)=一2,/(4)=-

10、，28所以，当又=-3时，/W取得最小值-18;当x=-l时，/(x)取得最大值2.1.利用导数求函数的单调区间函数的革调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑/⑵的正负即可，当

11、/(x)〉0时，/(幻单调递增;当/U)<0时，/(x)单调递减.此方法简单快捷而且适用而广.例4:求/(x)=x3+2的单调区间.X分析：应先确定函数/(X)的定义域，再利用导数讨论其单调区间.解：显然，/(4定义域为(-°°，0)。(0，+00),又fx)=3x2-^-=3(f+1)('+DCv_1)，x2r由/’U)〉0,得x<-l或x〉l;乂由广(％)<0,得一1<%<0或0

12、点在曲线上和点在曲线外两种情况，/U)的几何意义就是曲线在点pu()，/u(>))处切线的斜率，过p点的切线方程为y-/(x0)=/’(A)(x—xo)，但应注意点，/(x。))在曲线y=yx)上，否则易错.例5:求曲