导数在解题中应用

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1、毕业论文（2010届）题目导数在解题中应用学院数学计算机学院专业数学与应用数学（师范）年级2006级学生学号12006242760学生姓名虎宁指导教师王战平2010年5月8日导数在解题中的应用数学计算机学院数学与应用数学（师范）专业2010届虎宁摘要:本文通过导数的基本理论来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数在解题中的应用，如在数列、函数、不等式证明、实际问题、数列求和等方面的应用。关键词：导数；函数；单调性；最值；数列中图分类号：017TheApplicationofDerivativeinSolvingproble

2、msAbstract:Inthispaper,wediscusssomeproblemsinmashbythetheoryofthederivative.Thederivativeapplicationisobtainedbyusingexamplesfromsimpleapplicationtocomprehensiveapplication,suchastheapplicationoftheseries,inequalityproof,practicalproblemsandsummationseries.Keywords:derivati

3、ve;function;monotone;themostvalue;series目录1引言12导数在解题中的应用42.1求曲线的切线方程42.2导数在探究函数性质中的应用62.2.1判断函数的单调性62.2.2函数的极值、最值问题72.2.3求函数的解析式92.2.4导数在解决实际问题中的应用92.3研究方程根的情况112.4导数在不等式证明中的应用122.5导数求参数的取值范围122.6导数在数列中的应用132.6.1导数在数列求和中的应用132.6.2求数列中的最大(小)项142.7导数在求极限中的应用152.8近似计算153结束语16谢辞

4、16参考文献17导数在解题中的应用1引言微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其体现在判定函数相关性质，证明不等式，恒等式及恒等变形，研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微积分学中重要的基础知识,是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值方面起着“钥匙”的作用.中学数学中加入导数的基础知识不仅丰富了函数的基础知识，而且使得对函数内容以及对函数性质的研究更加完整化、系统化，在初等数学与高等数学中导数起着“桥梁”作用，为中学生进入高等学府后继续学习奠定了基础.导数是高等数学中一个很重要的概念，深入理解导数的概念能够帮

5、助我们很好地解题.定义[1]：设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量点仍在该领域内时，相应的函数的增；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数在处的导数，记为，即导数定义的形式比较灵活.对它进行研究，能促进我们对导数的理解，帮助我们迅速、正确地解题，导数的定义式也可以有不同的形式，常见的有式中的即为自变量的增量.从微积分成为一门学科来说[2]，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。17公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就

6、隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题

7、。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个

8、是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析